Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли
Метод решения
Ранее мы рассмотрели метод Бернулли для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Этот метод также можно применить и для решения уравнений высших порядков. Если нам известно частное решение однородного уравнения, то применяя метод Бернулли, мы можем понизить порядок уравнения.
Пусть мы имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение произвольного, n-го порядка:
(1) an y (n ) + an – 1 y (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 y ′ + a0 y = f (x ) .
Здесь y = y (x ) является функцией от независимой переменной x . Коэффициенты an , an – 1 , ... a1 , a0 также являются функциями от x .
an y (n ) + an – 1 y (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 y ′ + a0 y = f (x ) .
Пусть функция v = v (x ) есть частное (любое, отличное от нуля) решение однородного уравнения
(2) an v (n ) + an – 1 v (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 v ′ + a0 v = 0 .
Тогда подстановка
y = uv
приводит к понижению порядка исходного уравнения (1). Здесь u = u (x ) – функция от переменной x .
Пусть нам известна функция v = v (x ) , удовлетворяющая уравнению (2). Применим формулу Лейбница для n-й производной произведения двух функций:
(uv ) (n ) = nΣk = 0 C kn u (n – k ) v (k ) = u (n ) v + C 1n u (n – 1 ) v ′ + C 2n u (n – 2 ) v ′′ + ...
+ C kn u (n – k ) v (k ) + ... + C n – 1n u ′v (n – 1 ) + uv (n ) .
Здесь C kn = n!(n – k ) ! k! – биномиальные коэффициенты.
Разобьем сумму на две части:
(uv ) (n ) = n – 1Σk = 0 C kn u (n – k ) v (k ) + uv (n ) .
Тогда первая часть содержит только производные от неизвестной функции u . Подставим в (1) и сгруппируем члены:
an n – 1Σk = 0 C kn u (n – k ) v (k ) + an – 1 n – 2Σk = 0 C kn – 1 u (n – k – 1 ) v (k ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 u ′v +
u (an v (n ) + an – 1 v (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 v ′ + a0 v ) = f (x ) .
В силу (2), сумма членов в скобках равна нулю. В результате получаем:
an n – 1Σk = 0 C kn u (n – k ) v (k ) + an – 1 n – 2Σk = 0 C kn – 1 u (n – k – 1 ) v (k ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 u ′v = f (x ) .
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции u = u (x ) . Оно содержит производные функции u и не содержит саму функцию в явном виде. Выполнив подстановку u ′ = z , мы получим линейное неоднородное уравнение n-1 -го порядка.
См. «Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде».
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка методом Бернулли (введением двух функций):
(П1.1) y ′′ + 2y ′ + y = e – x √ x + 1
Решение
Шаг 1. Вводим две функции
Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П1.2) y = uv .
Подставляем в уравнение (П1.1) и группируем члены:
u ′′v + 2u ′v ′ + uv ′′ + 2(u ′v + uv ′ ) + uv = e – x √ x + 1 ;
(П1.3) u ′′v + 2u ′v ′ + 2u ′v + u (v ′′ + 2v ′ + v ) = e – x √ x + 1 .
Шаг 2. Решение однородного уравнения
Решаем однородное уравнение
(П1.4) v ′′ + 2v ′ + v = 0 .
Ищем решение в виде v = e kx . Получаем характеристическое уравнение:
k 2 + 2k + 1 = 0 .
Решаем квадратное уравнение:
k1,2 = – 2 ± √ 2 2 – 4 ⋅ 1 2 = – 2 ± 02 = – 1 .
Получаем кратные корни: k1 = k2 = – 1 . Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения линейного однородного уравнения (П1.4):
v1 (x ) = e – x ; v2 (x ) = xe – x .
В качестве функции v = v (x ) мы можем взять любое решение уравнения (П1.4). Возьмем наиболее простое. Пусть
(П1.5) v = e – x .
Шаг 3. Понижение порядка
Подставляем (П1.5) в (П1.3), учитывая (П1.4):
u ′′v + 2u ′v ′ + 2u ′v = e – x √ x + 1 ;
v = e – x ; v ′ = – e – x ;
u ′′e – x – 2u ′e – x + 2u ′e – x = e – x √ x + 1 ;
u ′′ = √ x + 1 ;
(П1.6) du ′dx = √ x + 1 .
Шаг 4. Интегрирование
Интегрируем (П1.6), используя таблицу интегралов:
u ′ = ∫ √ x + 1 dx = ∫ (x + 1 ) 12 d (x + 1 ) = 112 + 1 (x + 1 ) 12 + 1 + C1 = 23 (x + 1 ) 32 + C1 ;
dudx = 23 (x + 1 ) 32 + C1 ;
u = 23 ∫ (x + 1 ) 32 d (x + 1 ) + C1 ∫ dx = 23 ⋅ 132 + 1 (x + 1 ) 32 + 1 + C1 x + C2 =
415 (x + 1 ) 52 + C1 x + C2 .
Окончательно имеем:
y = uv = ( 415 (x + 1 ) 52 + C1 x + C2 ) e – x .
Ответ
y = ( C1 x + C2 ) e – x + 415 √ (x + 1 ) 5 ⋅ e – x .
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение второго порядка методом Бернулли:
(П2.1) y ′′ + y = tg x
Решение
Шаг 1. Вводим две функции
Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П2.2) y = uv .
Подставляем в уравнение (П2.1) и группируем члены:
u ′′v + 2u ′v ′ + uv ′′ + uv = tg x ;
(П2.3) u ′′v + 2u ′v ′ + u (v ′′ + v ) = tg x .
Шаг 2. Решение однородного уравнения
Решаем однородное уравнение
(П2.4) v ′′ + v = 0 .
Ищем решение в виде v = e kx . Получаем характеристическое уравнение:
k 2 + 1 = 0 .
Оно имеет комплексные корни:
k1,2 = ± √ – 1 = ± i .
Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения однородного уравнения (П2.4):
v1 (x ) = cos x; v2 (x ) = sin x .
В качестве функции v = v (x ) , мы можем взять любое, отличное от нуля, решение уравнения (П2.4). Возьмем
(П2.5) v = cos x .
Шаг 3. Понижение порядка
Подставляем (П2.5) в (П2.3), учитывая (П2.4):
u ′′v + 2u ′v ′ = tg x ;
v = cos x; v ′ = – sin x ;
u ′′ cos x – 2u ′ sin x = tg x .
Мы получили дифференциальное уравнение, не содержащее функцию в явном виде. Сделаем подстановку u ′ = z . В результате получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
(П2.6) z ′ cos x – 2z sin x = tg x .
Шаг 4. Решение дифференциального уравнения первого порядка
Уравнение (П2.6) можно также решить методом Бернулли, но это проще сделать с помощью интегрирующего множителя. Умножим уравнение (П2.6) на cos x и выполняем преобразования:
z ′ cos 2 x – 2z sin x cos x = sin x ;
z ′ cos 2 x + z (cos 2 x ) ′ = sin x ;
d (z cos 2 x ) dx = sin x .
Интегрируем:
z cos 2 x = ∫ sin x dx = – cos x + C1 .
Возвращаемся к переменной u :
u ′ = z = – 1cos x + C1 cos 2 x .
Интегрируем еще раз и вычисляем интегралы (см. «Интегрирование тригонометрических рациональных функций» и «Таблица неопределенных интегралов»):
u = – ∫ dxcos x + C1 ∫ dxcos 2 x + C2 ;
∫ dxcos x = ∫ cos x dxcos 2 x = ∫ d (sin x ) 1 – sin 2 x = 12 ln | 1 + sin x1 – sin x | = 12 ln | 1 – sin 2 x(1 – sin x ) 2 | =
12 ln ( cos x1 – sin x ) 2 = ln | cos x | 1 – sin x ;
∫ dxcos 2 x = tg x ;
u = ln 1 – sin x | cos x | + C1 tg x + C2 .
Окончательно имеем:
y = uv = ( ln 1 – sin x | cos x | + C1 tg x + C2 ) ⋅ cos x .
Ответ
y = C1 sin x + C2 cos x + cos x ⋅ ln 1 – sin x | cos x | .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: