Здесь мы рассматриваем пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера. Методы решения уравнения Эйлера подробно рассмотрены на странице
“Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >”.
Пример
Решить дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка
(1)
Решение
Ищем общее решение однородного уравнения второго порядка:
(2)
Ищем решение в виде
Подставляем в (2):
Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение второго порядка:
Преобразуем.
Получили два действительных корня:
Им соответствуют два линейно независимых решения:
(3)
Общее решение уравнения:
(4)
Далее считаем, что постоянные C1 и C2 являются функциями от x. Находим производные.
Положим
(5)
Тогда
Подставим в (1):
Поскольку функции y1 и y2 удовлетворяют уравнению (2), то часть членов сокращается. Остается:
Таким образом, вместе с уравнением (5) мы получили систему уравнений:
Подставляем:
Из второго:
Подставим в первое:
Интегрируем:
Где C02 - постоянная интегрирования.
Интегрируем по частям:
Подставляем:
Находим C1.
Итак, мы нашли:
Общее решение:
Переобозначив постоянные, окончательно имеем.
Ответ