Методы решения физико-математических задач

Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка

Решение дифференциального уравнения Эйлера методом Лагранжа
Рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка методом вариации постоянных Лагранжа.

Здесь мы рассматриваем пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера. Методы решения уравнения Эйлера подробно рассмотрены на странице
“Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >”.

Пример

Решить дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка
(1)   x^2 y prime prime~+~x y prime~minus~y~=~x/(x+1)^2~minus~ln(x+1)

Решение

Ищем общее решение однородного уравнения второго порядка:

(2)   x^2 y prime prime~+~x y prime~minus~y~=~0

Ищем решение в виде

y~=~x^k

y prime~=~k x^{k-1}

y prime prime~=~k(k minus 1) x^{k-2}

Подставляем в (2):

x^2 k(k minus 1) x^{k-2}~+~x k x^{k-1}~minus~x^k~=~0

Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение второго порядка:

k(k minus 1)~+~k~minus~1~=~0

Преобразуем.

k^2 ~minus~k ~+~k~minus~1~=~0

k^2 ~minus~1~=~0

(k ~+~ 1)(k ~minus~ 1)~=~0

Получили два действительных корня:

k_1~=~minus 1;~~~k_2~=~1

Им соответствуют два линейно независимых решения:

(3)   y_1~=~x^{-1}~=~1/x;~~~y_2~=~x^1~=~x.

Общее решение уравнения:

(4)   y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2

Далее считаем, что постоянные C1 и C2 являются функциями от x. Находим производные.

y prime~=~(C_1)^,~y_1~+~C_1~{y_1}^,~+~(C_2)^,~y_2~+~C_2~{y_2}^,

Положим

(5)   (C_1)^,~y_1~+~(C_2)^,~y_2~=~0

Тогда

y prime~=~C_1~{y_1}^,~+~C_2~{y_2}^,

y prime prime~=~(C_1)^,~{y_1}^,~+~C_1~{y_1}^{,,}~+~(C_2)^,~{y_2}^,~+~C_2~{y_2}^{,,}

Подставим в (1):

x^2~dot~((C_1)^,~{y_1}^,~+~(C_2)^,~{y_2}^,)~+

~+~C_1~x^2 {y_1}^{,,}~+~C_2~x^2 {y_2}^{,,}~+~

~+~C_1~x {y_1}^{,}~+~C_2~x {y_2}^{,}~minus~

~minus~C_1~ y_1~minus~C_2~y_2~=~x/(x+1)^2~minus~ln(x+1)

Поскольку функции y1 и y2 удовлетворяют уравнению (2), то часть членов сокращается. Остается:

x^2 ((C_1)^,~{y_1}^,~+~(C_2)^,~{y_2}^,)~=~x/(x+1)^2~minus~ln(x+1)

Таким образом, вместе с уравнением (5) мы получили систему уравнений:

(C_1)^,~{y_1}^,~+~(C_2)^,~{y_2}^,~=~1/{x(x+1)^2}~minus~{ln(x+1)}/x^2

(C_1)^,~y_1~+~(C_2)^,~y_2~=~0

Подставляем:

y_1~=~1/x;~~~y_2~=~x.

{y_1}^,~=~(x^{-1})^,~=~minus 1 dot x^{-2}~=~minus~ 1/x^2;~~~{y_2}^,~=~(x)^,~=~1

minus~ 1/x^2(C_1)^,~+~(C_2)^,~=~1/{x(x+1)^2}~minus~{ln(x+1)}/x^2

1/x (C_1)^,~+~(C_2)^,~x~=~0

Из второго:

minus~ 1/x^2(C_1)^,~=~(C_2)^,

Подставим в первое:

(C_2)^,~+~(C_2)^,~=~2 (C_2)^,~=~1/{x(x+1)^2}~minus~{ln(x+1)}/x^2

Интегрируем:

2 C_2~=~int{~}{~}{dx/{x(x+1)^2}}~minus~int{~}{~}{{ln(x+1)} dx/x^2}~+~2 C_{02}

Где C02 - постоянная интегрирования.

Интегрируем по частям:

int{~}{~}{{ln(x+1)} dx/x^2}~=~minus~int{~}{~}{{ln(x+1)} d(1/x)}~=~minus~{ln(x+1)}~dot~1/x~+~

~+~int{~}{~}{ (ln(x+1))^,~dot~1/x dx}~=~minus~{ln(x+1)}~dot~1/x~+~int{~}{~}{ dx/{x(x+1)} }

Подставляем:

2 C_2~=~int{~}{~}{dx/{x(x+1)^2}}~+~{ln(x+1)}~dot~1/x~minus~int{~}{~}{ dx/{x(x+1)} }~+~2 C_{02}

int{~}{~}{dx/{x(x+1)^2}}~minus~int{~}{~}{ dx/{x(x+1)} }~=~int{~}{~}{(1/{x(x+1)^2} ~minus~ 1/{x(x+1)})dx}~=~

~=~int{~}{~}{ {1~minus~(x+1)} /{x(x+1)^2} dx}~=~minus~int{~}{~}{dx/(x+1)^2}~=~1/{x+1}

2 C_2~=~1/{x+1}~+~{ln(x+1)}~dot~1/x~+~2 C_{02}

Находим C1.

2 (C_1)^,~=~minus~x^2 ~dot~2~dot~ (C_2)^,~=~minus~x/{(x+1)^2}~+~ln(x+1)

2 C_1~=~minus~int{~}{~}{x/{(x+1)^2} dx}~+~int{~}{~}{ln(x+1)dx}~=~

~=~minus~int{~}{~}{ {x+1 minus 1}/{(x+1)^2} dx}~+~int{~}{~}{ln(x+1)d(x+1)}~=~minus~int{~}{~}{ dx/{x+1} }~+~int{~}{~}{dx/(x+1)^2}~+~

~+~ln(x+1)~dot~(x+1)~minus~int{~}{~}{ (ln(x+1))^,~dot~(x+1)~dx }~=~

~=~minus~ln(x+1)~minus~1/{x+1}~+~(x+1)ln(x+1)~minus~int{~}{~}{(x+1)/(x+1) dx}~=~

~=~minus~1/{x+1}~+~x ln{(x+1)}~minus~x~+~2 C_{01}

Итак, мы нашли:

C_1~=~1/2(~minus~1/{x+1}~+~x ln{(x+1)}~minus~x~)~+~C_{01}

C_2~=~1/2(~1/{x+1}~+~{ln(x+1)}~dot~1/x~)~+~C_{02}

Общее решение:

y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2~=~C_1/x~+~C_2~x~=~

~=~1/2~dot~(~minus~1/{x(x+1)}~+~ ln{(x+1)}~minus~1~)~+~C_{01}/x~+~

~+~1/2(~x/{x+1}~+~{ln(x+1)}~)~+~C_{02} x~=~C_{01}/x~+~C_{02} x~+~

~+~ ln{(x+1)}~+~1/2(~x/{x+1}~minus~1/{x(x+1)}~minus~1~)

x/{x+1}~minus~1/{x(x+1)}~minus~1~=~{x^2~minus~1~minus~x(x+1)}/{x(x+1)}~=~minus~{x+1}/{x(x+1)}~=~minus~1/x

y~=~C_{01}/x~minus~1/2~dot~1/x~+~C_{02} x~+~ln{(x+1)}

Переобозначив постоянные, окончательно имеем.

Ответ

y~=~C_1/x~+~C_2 x~+~ln{(x+1)}

.     Опубликовано: