Примеры дифференциальных уравнений с решениями
- Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
- Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.
Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка
См. раздел Дифференциальные уравнения первого порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения.
y ′ = x 2 3 √ y Решение
y ′ = (x – y ) 2 + 1 Решение
xy ′ = y + √ y 2 – x 2 Решение
(2x – y + 4 ) y ′ + x – 2y + 5 = 0
(1 – xy ) xy ′ + y (1 + xy ) = 0
x y ′ + 3 y = x 2 Решение с помощью интегрирующего множителя
Решение методом Бернулли
Решение методом Лагранжа
(x 2 + y 2 + 2y – 2x ) y ′ = 2(1 – x )
xy ′ + y = y 2 x 5
(xy + x 2 y 3 ) y ′ = 1
( 1x – y 2 (x – y ) 2 ) dx + ( x 2 (x – y ) 2 – 1y ) dy = 0 Решение методом последовательного выделения дифференциала
Решение методом последовательного интегрирования
(2xy 2 – y ) dx + (y 2 + x + y ) dy = 0
2xdy + ydx + xy 2 (xdy + ydx ) = 0
xy ′ = √ 1 + (y ′ ) 2
y ′ = e y ′ sin y ′
y = y ′ ln y ′
x 3 + (y ′ ) 3 = axy ′
y = xy ′ – a √ 1 + (y ′ ) 2
2y (y ′ + 2 ) = x (y ′ ) 2
Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков
См. раздел Дифференциальные уравнения высших порядков
Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.
y ′′′ sin 4 x = sin 2x
y ′′′ 5 + y ′′′ = x
y ′′ 3x 6 + y ′′ 2x 3 + y ′′x 2 = 2 + 1x , y (1 ) = 0; y ′(1 ) = 0
y ′ 2 + y ′′ 2 = 1
y ′′′ = √ 1 + y ′′ 2
y ′′ = 1y 3 , y (0 ) = 1; y ′(0 ) = 0
y ′′′ = 2y ′′
yy ′′ = y ′ 2 , 1-й способ
yy ′′ = y ′ 2 , 2-й способ
x 3 y ′′ – xyy ′ + y 2 = 0, y (1 ) = 3, y ′(1 ) = 5
y ′′ + xy ′ + y = 0, y (0 ) = 1, y ′(0 ) = 0
y ′′′ + (y ′′ ) 2 = 0
(1 + x 2 ) y ′′ + y ′ 2 + 1 = 0
2yy ′′ + (y ′ ) 2 + (y ′ ) 4 = 0
x 2 yy ′′ = (y – xy ′ ) 2
(xy + x 2 √ x ) y ′′ + yy ′ – x (y ′ ) 2 – 34 y √ x = 0
xy ′′ + x (y ′ ) 2 + y ′ = 0
3y ′′y IV – 7y ′′′ 2 = 0
2yy ′′ ln y = (y ′ ) 2 (1 + 2 ln y )
Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
y ′′ + 2y ′ + y = e – x √ x + 1 Решение методом Бернулли
Решение методом вариации постоянных (Лагранжа )
Решение линейной подстановкой
y ′′ + y = tg x Решение методом Бернулли
Решение методом вариации постоянных (Лагранжа )
Решение линейной подстановкой
y (7 ) + 2y (5 ) + y ′′′ = 0
y ′′ + 4y ′ + 13y = 0
y (4 ) – 2y ′′′ + 5y ′′ = 0
Найдите однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого данные функции являются частными решениями:
y1 = x 2 , y2 = e x cos 3x . Решение
y ′′′ – 4y ′ = xe 2x + sin x + x 2
y ′′ + y = x 2 cos x Решение тремя способами
x 3 y ′′′ + 2x 2 y ′′ – xy ′ + y = 0
x 2 y ′′ + xy ′ + y = 0
x 2 y ′′ + xy ′ – y = x(x + 1 ) 2 – ln (x + 1 )
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
См. раздел Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
x ∂u∂x – 12 y ∂u∂y + (z + x 4 y 2 ) ∂u∂z = 0 ,
u = 2z – x 2 2x 2 при xy = – 1 .
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
2xz ∂z∂x + 2yz ∂z∂y = z 2 – x 2 – y 2 ,
и проходящую через данную окружность
x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: