Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Подробнее, см. Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Уравнения, содержащие переменную и старшую производную
Разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
y (n ) = f (x ) .
Интегрируем n раз.
y (n – 1 ) = ∫ f (x ) dx + C1 ;
y (n – 2 ) = ∫ y (n – 1 ) dx + C2 ;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
y = 1(n – 1 ) ! x∫a (x – t ) n – 1 f (t ) dt + C1 + C2 x + C3 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn x n – 1 .
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Разрешенные относительно переменной
Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной:
x = f (y (n ) ) .
Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр t = y (n ) . В результате получаем:
x = f (t ) , dx = f ′(t ) dt ;
y (n ) = dy (n – 1 ) dx = t .
Из последнего уравнения dy (n – 1 ) = t dx = tf ′(t ) dt . Интегрируя, получаем зависимость производной y (n – 1 ) от x в параметрическом виде:
x = f (t ) ; y (n – 1 ) = ∫ tf ′(t ) dt + C1 .
Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.
Общий случай
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида:
f (x, y (n ) ) = 0 .
Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции φ (t ) и ψ (t ) , для которых f (φ (t ) , ψ (t ) ) = 0 .
Если такие функции найдены, то положим x = φ (t ) , y (n ) = ψ (t ) . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t : dx = φ ′(t ) dt . Тогда
y (n ) = dy (n – 1 ) dx = ψ (t ) ; dy (n – 1 ) = ψ (t ) dx = ψ (t ) φ ′(t ) dt .
Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка y (n – 1 ) в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков:
F (y (n – 1 ) , y (n ) ) = 0 .
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции φ (t ) и ψ (t ) , которые удовлетворяют уравнению
F (ψ (t ) , φ (t ) ) = 0 .
Тогда положим
y (n ) = φ (t ) , y (n – 1 ) = ψ (t ) .
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению F (y (n – 1 ) , y (n ) ) = 0 .
Тогда
dx = dy (n – 1 ) y (n ) = dψ (t ) φ (t ) = ψ ′(t ) dtφ (t ) ;
dy (n – 2 ) = y (n – 1 ) dx = ψ (t ) ψ ′(t ) dtφ (t ) .
Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2. Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков:
F (y (n – 2 ) , y (n ) ) = 0 .
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции φ (t ) и ψ (t ) , которые удовлетворяют уравнению
F (ψ (t ) , φ (t ) ) = 0 .
Положим
y (n ) = φ (t ) , y (n – 2 ) = ψ (t ) .
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.
Тогда
y (n – 1 ) dy (n – 1 ) = y (n ) dy (n – 2 ) ;
d ( y (n – 1 ) ) 2 = 2y (n ) dy (n – 2 ) = 2φ (t ) ψ ′(t ) dt ;
( y (n – 1 ) ) 2 = 2 ∫ φ (t ) ψ ′(t ) dt + C1 ;
y (n – 1 ) = ± √ 2 ∫ φ (t ) ψ ′(t ) dt + C1 ;
dx = dy (n – 2 ) y (n – 1 ) = ψ ′(t ) dty (n – 1 ) .
Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2. Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде
f ( x, y ′, y ′′, y ′′′, ... y (n ) ) = 0
Подстановка u = y ′ приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь u – функция от x .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде
f ( y, y ′, y ′′, y ′′′, ... y (n ) ) = 0
Для решения этого уравнения, делаем подстановку
u = y ′ .
Считаем, что u является функцией от y . Тогда
y ′′ = dudx = dudy ⋅ dydx = dudy ⋅ u .
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Однородные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных
Дифференциальное уравнение
f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) = 0
является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством:
f (x, ty, ty ′, ty ′′,..., ty (n ) ) = t p f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) .
Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.
Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену
y → ty, y ′ → ty ′, y ′′ → ty ′′,..., y (n ) → ty (n ) .
Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.
Для его решения делаем подстановку
y ′ = u y ,
где u – функция от x . Тогда
y ′′ = ( u y ) ′ = u ′ y + u y ′ = u ′ y + u u y = y ( u ′ + u 2 ) .
Аналогично преобразуем производные y ′′′, y IV и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: x → cx, y → c s y , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на c s – m :
y (m ) = d m y(dx ) m → d m c s y(d (cx ) ) m = c s c m d m y(dx ) m = c s – m y (m ) .
Если записать исходное уравнение в общем виде:
f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) = 0 ,
то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством:
f (tx, t s y, t s – 1 y ′, t s – 2 y ′′,..., t s – n y (n ) ) = t p f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) ,
где t – число или любая функция; p – показатель однородности.
При s = 1 подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) u = u (t ) с помощью подстановок:
x = e t , y = ue st , где t – параметр.
В результате для функции u = u (t ) получим дифференциальное уравнение n - го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑.
См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков
Дифференциальные уравнения с полной производной
Это уравнения, которые можно привести к полной производной:
f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) = ddx Φ(x, y, y ′, y ′′,..., y (n – 1 ) ) = 0 .
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
Φ(x, y, y ′, y ′′,..., y (n – 1 ) ) = C1 .
Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением f (x, y, y ′, y ′′,..., y (n ) ) = 0 .
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
xy ′′ + x (y ′ ) 2 + y ′ = 0 .
Разделим его на xy ′ . Тогда
y ′′y ′ + y ′ + 1x = ( ln | y ′ | + y + ln | x | ) ′ = 0 .
Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка:
ln | y ′ | + y + ln | x | = C1 .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1) pn y (n ) + pn – 1 y (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + p2 y ′′ + p1 y ′ + p0 y = 0 ,
где p0 , p1 , ..., pn – функции от независимой переменной x . Пусть y1 (x ) , y2 (x ) , ..., yn (x ) есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) y = C1 y1 (x ) + C2 y2 (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn yn (x ) ,
где C1 , C2 , ..., Cn – произвольные постоянные. Сами функции y1 (x ) , y2 (x ) , ..., yn (x ) образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
pn y (n ) + pn – 1 y (n – 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + p2 y ′′ + p1 y ′ + p0 y = f (x ) .
Пусть y = Y (x ) есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
y = Y (x ) + C1 y1 (x ) + C2 y2 (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn yn (x ) ,
где y0 (x ) = C1 y1 (x ) + C2 y2 (x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn yn (x ) – общее решение однородного уравнения (1).
См. далее: Линейные дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: