Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом понижения порядка
Здесь мы применим метод понижения порядка для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни. Метод понижения порядка подробно рассмотрен на странице «Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами».
Пример
Решить уравнение:
y ′′ + 2y ′ + y = e – x √ x + 1 .
Решение
Перепишем уравнение в виде:
( ( ddx ) 2 + 2 ddx + 1 ) y = e – x √ x + 1 .
Поскольку
D 2 + 2D + 1 = (D + 1 ) 2 = (D + 1 ) (D + 1 ) ,
то уравнение можно переписать в виде:
( ddx + 1 ) ( ddx + 1 ) y = e – x √ x + 1 .
Сделаем подстановку:
u = ( ddx + 1 ) y = y ′ + y .
Тогда уравнение примет вид:
( ddx + 1 ) u = e – x √ x + 1 ;
u ′ + u = e – x √ x + 1 .
Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на e x :
e x u ′ + e x u = √ x + 1 .
Замечаем, что
e x = (e x ) ′ .
Тогда
e x u ′ + e x u = e x u ′ + (e x ) ′ u = ddx (e x u ) ;
ddx (e x u ) = √ x + 1 .
Интегрируем. По таблице интегралов находим:
e x u = ∫ √ x + 1 dx= ∫ (x + 1 ) 1 / 2 d (x + 1 ) =
= 11 / 2 + 1 (x + 1 ) 1 / 2 + 1 + C1 = 23 (x + 1 ) 3 / 2 + C1 .
Умножаем на e – x :
u = 23 (x + 1 ) 3 / 2 e – x + C1 e – x .
Поскольку u = y ′ + 1 , то мы получили линейное уравнение первого порядка для y :
y ′ + y = 23 (x + 1 ) 3 / 2 e – x + C1 e – x .
Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на e x :
e x y ′ + e x y = ddx (e x y ) = 23 (x + 1 ) 3 / 2 + C1 .
Интегрируем:
e x y = 23 ∫ (x + 1 ) 3 / 2 dx+ C1 ∫ dx=
= 23 ⋅ 13 / 2 + 1 ⋅ (x + 1 ) 3 / 2 + 1 + C1 x + C2 = 415 ⋅ (x + 1 ) 5 / 2 + C1 x + C2 .
Умножаем на e – x :
y = 415 ⋅ (x + 1 ) 5 / 2 e – x + (C1 x + C2 ) e – x .
Ответ
y = (C1 x + C2 ) e – x + 415 ⋅ √ (x + 1 ) 5 ⋅ e – x .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: