Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом понижения порядка

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни, методом понижения порядка.

Здесь мы применим метод понижения порядка для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни. Метод понижения порядка подробно рассмотрен на странице «Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами».

Пример

Решить уравнение:
.

Решение

Перепишем уравнение в виде:
.
Поскольку
,
то уравнение можно переписать в виде:
.

Сделаем подстановку:
.
Тогда уравнение примет вид:
;
.

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на :
.
Замечаем, что
.
Тогда
;
.

Интегрируем. По таблице интегралов находим:

.

Умножаем на :
.
Поскольку , то мы получили линейное уравнение первого порядка для y:
.

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на :
.
Интегрируем:

.
Умножаем на :
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-07-2013   Изменено: 10-05-2020