Методы решения физико-математических задач

Пример решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью

Пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородностью
Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью в виде суммы экспоненты, умноженной на x, синуса и многочлена второй степени.
Содержание

Здесь мы рассмотрим пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью. Метод решения таких уравнений подробно рассмотрен на странице «Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью».

Пример

Решить уравнение:
y ′′′ – 4y ′ = xe 2x  + sin x+ x 2  . 

Решение

Общее решение однородного уравнения

Вначале находим общее решение однородного дифференциального уравнения
y ′′′0  – 4y ′0  = 0 . 
Ищем решение в виде y0  = e kx  .  Составляем характеристическое уравнение:
k 3  – 4k = 0 . 
Преобразуем его.
(k 2  – 2 2 ) k = 0 ; 
(k + 2 ) (k – 2 ) k = 0 . 
Получили три действительных корня:
k1  = – 2;  k2  = 2;  k3  = 0 . 
Им соответствуют три решения фундаментальной системы решений:
y1  = e – 2 ⋅ x ;  y2  = e 2 ⋅ x ;  y3  = e 0 ⋅ x  = 1 . 
Общее решение однородного уравнения:
y0  = C1  y1  + C2  y2  + C3  y3  = C1  e – 2x  + C2  e 2x  + C3  . 

Ищем частное решение неоднородного уравнения. Для этого неоднородную часть представим в виде суммы трех частей:
 f 1 (x )  = xe 2x ;   f 2 (x )  = sin x;   f 3 (x )  = x 2  . 

Частное решение с первой неоднородностью

Ищем частное решение дифференциального уравнения с первой неоднородной частью.
(П1)   Y ′′′1  – 4Y ′1  = xe 2x  . 
Неоднородность имеет вид многочлена первой степени, умноженного на экспоненту:
(a1 x + a0 )  e kx  =  (1 ⋅ x + 0 )  e 2x  = xe 2x  . 
Характеристическое уравнение имеет корень k = 2 ,  кратности p = 1 .  Тогда частное решение имеет вид многочлена первой степени, умноженного на x p  = x 1  = x и на экспоненту:
Y1  = x  (Ax + B )  e kx  = (Ax 2  + Bx )  e 2x  . 
Находим производные.
(e 2x )  ′ = e 2x  (2x )  ′ = 2 e 2x  ; 
Y ′1  = (Ax 2  + Bx )  ′ e 2x  + (Ax 2  + Bx )  (e 2x )  ′ = (2Ax + B )  e 2x  + 
+ 2(Ax 2  + Bx )  e 2x  = (2Ax 2  + (2A + 2B ) x + B )  e 2x  ; 
Y ′′1  = (2Ax 2  + (2A + 2B ) x + B )  ′ e 2x + (2Ax 2  + (2A + 2B ) x + B )  ⋅ (e 2x )  ′ = 
= (4Ax + 2A + 2B )  e 2x  + 2(2Ax 2  + (2A + 2B ) x + B )  e 2x  = 
(4Ax 2  + (8A + 4B ) x + 2A + 4B ) ⋅ e 2x  ; 
Y ′′′1  = (4Ax 2  + (8A + 4B ) x + 2A + 4B )  ′ ⋅  e 2x  + 
+ (4Ax 2  + (8A + 4B ) x + 2A + 4B )  ⋅ (e 2x )  ′ = (8Ax + (8A + 4B ) ) e 2x  + 
2(4Ax 2  + (8A + 4B ) x + 2A + 4B )  ⋅  e 2x  = (8Ax 2  + (24A + 8B ) x +  12A + 12B )  ⋅ e 2x  . 
Подставляем в (П1):
(8Ax 2  + (24A + 8B ) x +  12A + 12B )  ⋅  e 2x  – 
4(2Ax 2  + (2A + 2B ) x + B )  ⋅  e 2x  = x e 2x  . 
Сокращаем на e 2x  и преобразуем:
16A x + 12A + 8B = x . 
Отсюда:
{ 
16A = 1
12A + 8B = 0
 

A = 116 ;   B = – 128 A = – 32 ⋅ 116 = – 332  ; 
Y1  = (Ax 2  + Bx )  e 2x  = ( x 2 16 – 3x32  )  e 2x  = 2x 2  – 3x32  e 2x  . 

Частное решение со второй неоднородностью

Ищем частное решение со второй неоднородной частью:
(П2)   Y ′′′2  – 4Y ′2  = sin x . 
Неоднородность имеет вид суммы произведений многочленов степени 0 (то есть постоянных), умноженных на косинус и синус:
a0 x 0 cos x + b0 x 0 sin x =  a0  ⋅ 1 ⋅ cos x + b0  ⋅ 1 ⋅ sin x = 
 a0 cos x + b0 sin x =  0 ⋅ cos x + 1 ⋅ sin x = sin x . 
Поскольку характеристическое уравнение не имеет комплексного корня k = i ,  то частное решение имеет вид суммы произведений многочленов степеней 0 (то есть постоянных), умноженных на косинус и синус:
Y2  = A  cos x+ B  sin x . 
Находим производные.
(cos x)  ′ = – sin x;  (sin x)  ′ = cos x ; 
Y ′2  = – A  sin x+ B  cos x ; 
Y ′′2  = – A  cos x– B  sin x ; 
Y ′′′2  = A  sin x– B  cos x . 
Подставляем в (П2):
A  sin x– B  cos x– 4(– A  sin x+ B  cos x)  = sin x . 
Преобразуем:
5A  sin x– 5B  cos x= sin x . 
Отсюда
{ 
5A = 1
– 5B = 0
 

A = 1 / 5;  B = 0 ; 
Y2  = A  cos x+ B  sin x= 15  cos x . 

Частное решение с третьей неоднородностью

Ищем частное решение дифференциального уравнения с третьей неоднородной частью:
(П3)   Y ′′′3  – 4Y ′3  = x 2  . 
Здесь неоднородная часть x 2  является многочленом второй степени. Ему соответствует k = 0 .  Правую часть можно записать в стандартном виде так:
x 2  = (x 2  + 0 ⋅ x + 0 )  e 0 ⋅ x  . 
Поскольку характеристическое уравнение имеет однократный корень k = 0 ,  то частное решение имеет вид многочлена второй степени, умноженного на x p  = x 1  = x (здесь p = 1 – кратность корня k = 0):
Y3  = x  (A x 2  + Bx + D )  e 0 ⋅ x  = A x 3  + Bx 2  + Dx . 
Находим производные:
Y ′3  = 3A x 2  + 2Bx + D ; 
Y ′′3  = 6A x + 2B ; 
Y ′′′3  = 6A . 
Подставляем в (П3):
6A – 4(3A x 2  + 2Bx + D )  = x 2  . 
Преобразуем:
– 12Ax 2  – 8Bx + 6A – 4D = x 2  . 
Отсюда
{ 
– 12A = 1
– 8B = 0
6A – 4D = 0
 

A = – 112 ;  B = 0;  D = 64 A = – 32 ⋅ 112 = – 324  ; 
Y3  = A x 3  + Bx 2  + Dx = – 112  x 3  – 324 x = – 124 x (2x 2  + 3 )  . 

Общее решение исходного уравнения:
y = y0  + Y1  + Y2  + Y3  . 

Ответ

y = C1  e – 2 ⋅ x  + C2  e 2 ⋅ x  + C3  + 2x 2  – 3x32  e 2x  + 15  cos x – 124 x (2x 2  + 3 )  . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

▲
Меню