Методы решения физико-математических задач

y′′+y=x2cos x. Пример решения линейного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с неоднородностью x квадрат cos x
Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью y′′+y=x∧2cos x. Приводится подробное решение тремя способами: понижением порядка линейной подстановкой; стандартным способом; стандартным способом, используя комплексные функции.

Условие примера

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной неоднородной частью в виде произведения многочлена второй степени и косинуса:
(1)   .

1. Самое простое решение примера

Применим метод понижения порядка линейной заменой переменных.

Делаем подстановку
(1.1)   ,
где i – комплексная единица, . тогда уравнение (1) примет вид:
(1.2)   .
Действительно, . Все правильно.

Решаем линейное неоднородное уравнение первого порядка (1.2) с помощью интегрирующего множителя. Умножим на и выделим полный дифференциал:
;
;
.
Интегрируем:
(1.3)   .

Вычисляем интеграл. Для этого, с помощью формулы Эйлера, выразим косинус через экспоненту:
.
Тогда интеграл примет вид:
(1.4)  
.

Первый интеграл табличный:
(1.5)   .

Второй интеграл интегрируем по частям:
;
;

;


;
(1.6)   .

Подставляем (1.5)  и (1.6)  в (1.4), а затем в (1.3):
;
(1.7)   .
Теперь учтем, что постоянная интегрирования C является комплексным числом. Поэтому запишем ее в виде , где – действительные числа. Умножим (1.7) на . Также учтем, что согласно (1.1), :
(1.8)   .

Учтем тот факт, что исходное уравнение (1) имеет действительное решение. Поэтому функции и действительные. Тогда, чтобы найти , нам нужно найти мнимую часть от выражения (1.8) справа. Выделяем действительную и мнимую части:


.
Отсюда получаем решение уравнения:

.

Преобразуем постоянные интегрирования: .

Ответ

.

2. Стандартное решение

Теперь решим наше уравнение (1)   стандартным методом. Этот метод применим для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной неоднородностью, которые имеют следующий вид:
,
где – многочлены степеней и , соответственно:
;
;
– известные коэффициенты.

В нашем случае, уравнение (1) второго порядка, , .

2.1 Общее решение однородного уравнения

Вначале находим общее решение однородного уравнения. Для этого отбрасываем в (1) правую неоднородную часть. Получаем однородное уравнение, в котором, чтобы не было путаницы, заменим на :
(2.1)   .

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Оно имеет комплексные корни:
.
Им соответствует фундаментальная система решений:
.
Общее решение однородного уравнения (2.1):
.

2.2 Частное решение неоднородного уравнения

Поскольку характеристическое уравнение имеет корень кратности , и неоднородная часть имеет множитель , то частное решение Y ищем в виде
;
(2.2)   .
Здесь – действительные коэффициенты, которые нужно определить.

Для определения коэффициентов , подставим частное решение (2.2) в исходное уравнение, и приравняем левую и правую части.

Найдем производные от Y. Поскольку нам нужна только производная второго порядка, то применим формулу Лейбница:
.

Дифференцируем. Для удобства введем обозначения:
.
Тогда ;
;
;
;
;


;

.

Подставляем в (1) и выполняем преобразования:
;


;

.

Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
;
.
Решаем ее.

.

Отсюда получаем частное решение исходного уравнения:

.
Общее решение исходного уравнения:
.

Ответ

.

3. Стандартное решение с использованием комплексных функций

3.1. Описание метода

Суть этого метода заключается в том, чтобы выполнять вычисления, используя экспоненту вместо синусов и косинусов. При таком подходе, в ряде случаев получаются более простые преобразования. При этом нам нужно использовать комплексные числа и элементарные сведения из области функций комплексного переменного.

Рассмотрим комплексную функцию , зависящую от комплексной переменной
,
где – действительные числа. Ее можно записать в виде суммы действительной и мномой частей:
,
где – действительные функции от комплексной переменной . Например:
.
Отсюда .

Далее мы будем считать, что множеством определения всех функций является множество действительных чисел. То есть будем считать, что комплексная переменная принимает только действительные значения: .

Пусть функция w является решением линейного неоднородного уравнения:
(3.1)   ,
где – действительные коэффициенты (или действительные функции от действительной переменной x); – комплексная функция; и – действительные функции. Тогда действительная u и мнимая v части функции w удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
(3.2)   ;
(3.3)   .

Для доказательства подставим в (3.1):
.
Поскольку коэффициенты действительные, то, отделяя действительную и мнимую части, получаем, что функции u и v удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.2)  и  (3.3).

3.2. Применение метода

Применим этот прием к нашему уравнению (1). Возьмем комплексную функцию , и рассмотрим уравнение:
(3.4)   .
Тогда действительная часть u комплексного решения этого уравнения будет удовлетворять исходному уравнению (1):
.

Для решения (3.4) мы используем стандартный метод ⇑.

3.2.1. Общее решение однородного уравнения

Находим общее решение однородного уравнения. Отбрасываем в (3.4) правую неоднородную часть. Получаем однородное уравнение:
.

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(3.5)   .
Оно имеет комплексные корни
.
Им соответствует фундаментальная система решений
.
Общее решение однородного уравнения:
(3.6)   ,
где и – комплексные постоянные.

Выделим в общем решении действительную и мнимую части. Для этого выразим комплексные постоянные через действительные :
.
Подставим в (3.6) и применим формулу Эйлера:
;
.
Заменим постоянные :
(3.7)   .

3.2.2. Частное решение неоднородного уравнения

Находим частное решение уравнения (3.4). Неоднородная часть является экспонентой, умноженной на многочлен второй степени. Поскольку является корнем характеристического уравнения (3.5) кратности , то частное решение ищем в виде:
;
.

Находим производную второго порядка от W, применяя формулу Лейбница:
.

Дифференцируем. При этом используем обозначение:
.
Тогда ;
;
;

;
.

Подставляем в (3.4):
;

;
.

Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
.
Отсюда

.

Частное решение:
.
Разделяем действительную и мнимую части:

.
Прибавляя общее решение (3.7) однородного уравнения, получаем общее решение комплексного неоднородного уравнения (3.4):

.
Отделяя действительную часть, получаем общее решение исходного уравнения (1):
.

Ответ

.

.     Опубликовано:

Меню