Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрен способ решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом понижения порядка.

С помощью подстановок, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка можно свести к решению n неоднородных уравнений первого порядка.

Уравнения первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка:
(1)   y^′ – ay =  f (x )  . 
Наиболее просто оно решается с помощью интегрирующего множителя.

Умножим уравнение (1) на e^– ax   : 
e^– ax y^′ – ae^– ax y = e^– ax  f (x )  . 
замечаем, что
– a ⋅ e^– ax  = de^– ax dx  . 
Тогда
e^– ax  ⋅ dydx + de^– ax dx ⋅ y = ddx (e^– ax  ⋅ y )  = e^– ax  f (x )  . 
Интегрируем:
e^– ax  ⋅ y = ∫ e^– ax  f (x )  dx + C . 
Отсюда получаем общее решение:
y = e^ax ∫ e^– ax  f (x )  dx + Ce^ax  . 

Уравнения произвольного порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:
(2)   y^(n )  + a_n – 1 y^{(n – 1 )}  +  a_n – 2 y^{(n – 2 )}  + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ y^′ +  a₀ y =  f (x )  . 
Замечаем, что производную k-го порядка можно записать в следующем виде:
y^(k )  = d^k ydx^k  = ( ddx  ) ^k y . 
Это выражает собой тот факт, что производная k-го порядка есть применение операции дифференцирования k раз. Перепишем уравнение (2):
( ddx  ) ⁿ y + a_n – 1 ( ddx  ) ^n – 1 y +  a_n – 2 ( ddx  ) ^n – 2 y + ⋅ ⋅ ⋅ +  a₁ ( ddx  ) y + a₀ y =  f (x )  . 
Или
[ ( ddx  ) ⁿ  + a_n – 1 ( ddx  ) ^n – 1  +  a_n – 2 ( ddx  ) ^n – 2  + ⋅ ⋅ ⋅ +  a₁ ( ddx  )  + a₀  ] y =  f (x )  . 
Вводим обозначение: D = ddx  . 
(Dⁿ  + a_n – 1 D^n – 1  + a_n – 2 D^n – 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ D + a₀ ) y =  f (x )  . 
Поскольку коэффициенты a_i  – постоянные, то стоящий в скобках многочлен можно представить в виде произведения сомножителей так же, как это делается для любого многочлена:
Dⁿ  + a_n – 1 D^n – 1  +  a_n – 2 D^n – 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ D + a₀  = 
 (D – b₁ ) (D – b₂ ) ⋅ ⋅ ⋅ (D – b_n – 1 ) (D – b_n )  , 
где b_i  – корни уравнения:
(3)   Dⁿ  + a_n – 1 D^n – 1  +  a_n – 2 D^n – 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + a₁ D + a₀  = 0 . 
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

После этого исходное уравнение (2) примет вид:
(D – b₁ ) (D – b₂ ) ⋅ ⋅ ⋅ (D – b_n – 1 ) (D – b_n )  y =  f (x )  . 
Сделаем подстановку:
u = (D – b₂ ) ⋅ ⋅ ⋅ (D – b_n – 1 ) (D – b_n )  y . 
Получаем:
(D – b₁ )  u =  f (x )  , 
или
( ddx – b₁  )  u = dudx – b₁ u =  f (x )  . 
И мы получили уравнение первого порядка:
u^′ – b₁ u =  f (x )  . 
Решение этого уравнения мы уже рассмотрели, оно имеет вид:
u =  f ₁ (x )  , 
где
 f ₁ (x )  = e^b₁ x ∫ e^{– b₁ x}  f (x )  dx + Ce^b₁ x  . 

Возвращаемся к переменной y:
(D – b₂ ) ⋅ ⋅ ⋅ (D – b_n – 1 ) (D – b_n ) y =  f ₁ (x )  , 
или
( ddx – b₂  ) ⋅ ⋅ ⋅ ( ddx – b_n – 1  ) ( ddx – b_n  )  y =  f ₁ (x )  . 
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n – 1 .  Повторяя эту процедуру n – 1 раз, мы получим решение уравнения (2).

При практическом применении этого метода стоит различать два случая – случай вещественных корней b_i  и случай комплексных корней. В случае вещественных корней, процедура решения происходит, как описано выше (см. пример решения с действительными корнями). В случае комплексных корней следует учесть тот факт, что корни уравнения являются попарно сопряженными. И для каждой такой пары достаточно решить одно уравнение первого порядка (см. пример решения с мнимыми корнями).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-07-2013   Изменено: 31-01-2020