Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера

Здесь мы рассматриваем примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера. Методы решения уравнения Эйлера подробно рассмотрены на странице
«Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения».
Пример 1
Решить уравнение
(1) .
Решение
Ищем решение в виде
.
Находим производные:
;
;
.
Подставляем в (1):
.
Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение:
.
Выполняем преобразования.
;
;
;
;
;
.
Получаем три действительных корня:
.
Им соответствуют три линейно независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
Ответ
.
Пример 2
Решить уравнение
(2) .
Решение
Ищем решение в виде .
Находим производные:
;
.
Подставляем в (2):
.
Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение:
.
Выполняем преобразования.
;
;
.
Получаем два комплексных корня:
.
Им соответствуют два линейно независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
.
Ответ
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: