Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений методом последовательных приближений Пикара.

Здесь мы рассматриваем теорему существования и единственности решения системы n дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x )  от переменной x  : 
(1.1)   dy₁ dx =  f ₁ (x,  y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x ) )  ; 
(1.2)   dy₂ dx =  f ₂ (x,  y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x ) )  ; 
...
(1.n)   dy_n dx =  f _n (x,  y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x ) )  . 

Формулировка и доказательство этой теоремы является непосредственным обобщением теоремы для уравнения первого порядка, которое рассмотрено на странице “Теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка”.

Векторная форма записи

Поскольку уравнения (1.1) – (1.n) однотипны, то мы применим векторную форму записи. Это позволит сократить объем выкладок и сделает доказательство более ясным.

Совокупность n неизвестных функций y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x )  мы будем обозначать одним вектором ^→y (x )  .  Совокупность функций  f ₁ ,   f ₂ , ...   f _n  от независимой переменной x и от n зависимых функций y₁ (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x )  мы обозначим как
 ^→f (x,  ^→y (x ) )  . 

То есть совокупность из n величин a₁ ,  a₂ , ...  a_n  мы будем обозначать вектором ^→a .  Равенство
^→a = ^→b
будет обозначать систему из n уравнений:
a_i  = b_i  , 
где i = 1,  2, ... n . 

Под нормой вектора ||^→a ||  мы будем понимать сумму модулей его компонент:
||^→a ||  =  | a₁  |  +  | a₂  |  + ...  +  | a_n  |  . 

Формулировка теоремы

Пусть дана система дифференциальных уравнений:
(1)   d^→ydx =  ^→f (x,  ^→y (x ) ) 
с начальными условиями
(1.0)   ^→y (x₀ )  = ^→y^(0 )  . 
Пусть  ^→f (x,  ^→y )  – n непрерывных функций от n + 1 переменных в замкнутой области R  : 
 | x – x₀  |  ≤ a;   | y_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b;   i = 1,  2 ...  n
и, следовательно, ограничены некоторым положительным значением M  : 
(2)    |  f _i (x,  ^→y )  |  ≤ M . 
И пусть функции  f _i (x,  ^→y )  удовлетворяют в области R условию Липшица:
(3)   |  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  |  ≤  N || ^→y^(a )  – ^→y^(b )  ||  , 
где N – положительное число.
Тогда существует единственное решение системы (1):
^→y = ^→y (x )  , 
удовлетворяющее начальным условиям ^→y^(0 )  = ^→y (x₀ )  ,  определенное и непрерывное для значений x в интервале:
 | x – x₀  |  ≤ a₀  , 
где a₀  есть наименьшее из двух чисел a и bM  . 

Условие Липшица

Условие Липшица имеет вид:
(3)   |  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  |  ≤  N || ^→y^(a )  – ^→y^(b )  ||  . 
или в развернутом виде:
(3.1)   |  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  |  ≤  N ( | y^(a )₁  – y^(b )₁  |  + | y^(a )₂  – y^(a )₂  |  +  ...     + | y^(a )_n  – y^(b )_n  |  )  , 
где N – положительное число;
x ,  ^→y^(a )  и ^→y^(b )  – любые значения из области R . 

Если условие Липшица выполняется и в некоторой точке x,  ^→y^(a )  существует частная производная ∂ f _i ∂y_k   ,  то она ограничена по модулю значением N . 
Для доказательства положим в (3.1) y^(b )_m  = y^(a )_m  для всех m ≠ k .  Тогда (3.1) примет вид:
|  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  | | y^(a )_k  – y^(b )_k  |  ≤ N . 
Перейдем к пределу y^(b )_k  → y^(a )_k   : 
| ∂ f _i ∂y_k   |  =  | lim_{y^(b )k  → y^(a )k}  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) ) y^(a )_k  – y^(b )_k   |  ≤ N . 

Если в области R функции  f _i  имеют непрерывные частные производные ∂ f _i ∂y_k   ,  то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частные производные ∂ f _i ∂y_k   непрерывны в замкнутой области, то они ограничены:
| ∂ f _i ∂y_k   |  ≤ N . 
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
 f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  =  ∂ f _i ∂y₁  (y^(a )₁  – y^(b )₁ )  +  ∂ f _i ∂y₂  (y^(a )₂  – y^(b )₂ )  +  ...   +  ∂ f _i ∂y_n  (y^(a )_n  – y^(b )_n )  , 
где частные производные вычисляются в некоторой точке (x,  ^→y )  ,  в которой компоненты y_k  принадлежат интервалам между y^(a )_k  и y^(b )_k   : 
y_k  = y^(a )_k  + θ (y^(b )_k  – y^(a )_k ) ,   0 ≤ θ ≤ 1 . 
Тогда:
|  f _i (x,  ^→y^(a ) )  –  f _i (x,  ^→y^(b ) )  |  =  | ⁿΣ_k = 1 ∂ f _i ∂y_k  (y^(a )_k  – y^(b )_k )  |  ≤  ⁿΣ_k = 1 | ∂ f _i ∂y_k   | | y^(a )_k  – y^(b )_k  |  ≤ 
 N ⁿΣ_k = 1 | y^(a )_k  – y^(b )_k  |  . 

Доказательство существования решения

Приведем исходную систему (1) с начальными условиями (1.0) к системе интегральных уравнений. Левая и правая части (1) являются функциями от x .  Заменим x на t  : 
d^→y (t ) dt =  ^→f (t,  ^→y (t ) )  . 
Интегрируем каждое уравнение по t от x₀  до x  : 
^x∫_x0 d^→y (t ) dt dt =  ^x∫_x0 d^→y (t )  = ^→y (x )  – ^→y (x₀ )  =  ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt ; 
Подставим начальные условия ^→y (x₀ )  = ^→y^(0 )  .  В результате получим систему интегральных уравнений:
(4)   ^→y (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt . 

Покажем, что система интегральных уравнений (4) эквивалентна дифференциальным уравнениям (1) с начальными условиями (1.0). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.0) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.0). То, что из (1) и (1.0) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.0). Для этого подставим в (4) x = x₀  .  Получим начальные условия (1.0). Продифференцировав обе части системы (4) по x ,  получаем (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнений (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд векторов функций ^→y^(1 ) ,  ^→y^(2 ) ,  ^→y^(3 ) , ...  ^→y^(m )  от переменной x по формулам:
(5.1)   ^→y^(1 ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^(0 ) )  dt ; 
(5.2)   ^→y^(2 ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^(1 ) (t ) )  dt ; 
(5.3)   ^→y^(3 ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^(2 ) (t ) )  dt ; 
.........
(5.m)   ^→y^(m ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt . 
Функции y^(k )_i (x )  непрерывны, потому что интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела. Мы предполагаем, что при m → ∞ ,  ^→y^(m ) (x )  стремится к решению системы (4):
(6)   ^→Y (x )  = lim_{m → ∞} ^→y^(m ) (x )  , 
где ^→Y (x )  – решение системы (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1} вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что Y (x )  удовлетворяет системе (4):
^→Y (x )  = ^→y₀  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→Y (t ) )  dt . 

1) Доказательство существования предела y^(m) при m стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.m) к суммам рядов. Для этого пишем:
^→y^(m ) (x )  = ^→y^(0 )  + ( ^→y^(1 ) (x )  – ^→y^(0 ) (x )  )  +  ( ^→y^(2 ) (x )  – ^→y^(1 ) (x )  )  +  ...  
 + ( ^→y^{(m – 1 )} (x )  – ^→y^{(m – 2 )} (x )  )  +  ( ^→y^(m ) (x )  – ^→y^{(m – 1 )} (x )  )  . 
Таким образом нам нужно доказать, что ряды
(7)   ^→y^(0 )  + ^∞Σ_m = 1 ( ^→y^(m ) (x )  – ^→y^{(m – 1 )} (x )  ) 
сходятся при  | x – x₀  |  ≤ a₀  = min ( a, bM  )  . 

Сначала покажем, что при  | x – x₀  |  ≤ a₀  ,  компоненты последовательных приближений y^(m )_i  принадлежат интервалу | y^(m )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b . 
Действительно, при m = 1 имеем:
| y^(1 )_i  – y^(0 )_i  |  = | ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  dt  |  ≤  | ^x∫_x0  |  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  |  dt  |  ≤ | ^x∫_x0 M dt  |  =  M | x – x₀  |  ≤ Ma₀  . 
Поскольку a₀  есть наименьшее из двух чисел a и bM  ,  то a₀  ≤ bM  и
| y^(1 )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b . 

Далее, поскольку y^(1 )_i  принадлежит интервалу | y^(1 )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b ,  то |  f _i (x,  y^(1 )_i )  |  ≤ M .  Тогда, аналогично предыдущему,
| y^(2 )_i  – y^(0 )_i  |  =  | ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^(1 ) (t ) )  dt  |  ≤ Ma₀  . 
Отсюда
| y^(2 )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b . 

Далее, по индукции, поскольку y^{(m – 1 )}_i  принадлежит интервалу | y^{(m – 1 )}_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b ,  то |  f _i (x,  ^→y^{(m – 1 )}_i )  |  ≤ M и
| y^(m )_i  – y^(0 )_i  |  =  | ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )}_i (t ) )  dt  |  ≤ Ma₀  . 
Отсюда
| y^(m )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b . 

Итак, мы доказали, что последовательные приближения y^(m )_i  принадлежат интервалу
| y^(m )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b . 
Теперь мы можем оценить члены ряда (7).

Для первого члена имеем:
| y^(1 )_i (x )  – y^(0 )_i  |  = | ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  dt  |  ≤  | ^x∫_x0 |  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  |  dt  |  ≤  | ^x∫_x0 M dt  |  = M | x – x₀  |  ; 
(8.1)   | y^(1 )_i (x )  – y^(0 )_i  |  ≤ M | x – x₀  |  . 
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):
| y^(2 )_i (x )  – y^(1 )_i (x )  |  =  | ^x∫_x0 (  f _i (t,  ^→y^(1 ) (t ) )  –  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  )  dt  |  ≤ 
 | ^x∫_x0 |  f _i (t,  ^→y^(1 ) (t ) )  –  f _i (t,  ^→y^(0 ) )  |  dt  |  ≤  N | ⁿΣ_l = 1 ^x∫_x0 | y^(1 )_l (t )  – y^(0 )_l  |  dt  |  ≤ 
 MnN | ^x∫_x0  | t – x₀  |  dt  |  =  MnN1 ⋅ 2  | x – x₀  | ²  ; 
(8.2)   | y^(2 )_i (x )  – y^(1 )_i (x )  |  ≤ MnN1 ⋅ 2  | x – x₀  | ²  . 

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.m)   | y^(m )_i (x )  – y^{(m – 1 )}_i (x )  |  ≤  M (nN ) ^m – 1 m!  | x – x₀  | ^m  . 
Тогда
| y^{(m + 1 )}_i (x )  – y^(m )_i (x )  |  =  | ^x∫_x0 (  f _i (t,  ^→y^(m ) (t ) )  –    f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  )  dt  |  ≤ 
 | ^x∫_x0 |  f _i (t,  ^→y^(m ) (t ) )  –    f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  |  dt  |  ≤  N | ⁿΣ_l = 1 ^x∫_x0 | y^(m )_l (t )  – y^{(m – 1 )}_l (t )  |  dt  |  ≤ 
 NnM (nN ) ^m – 1 m! | ^x∫_x0  | t – x₀  | ^m  dt  |  =  M (nN ) ^m (m + 1 ) !  | x – x₀  | ^m + 1  ; 
(8.m+1)   | y^{(m + 1 )}_i (x )  – y^(m )_i (x )  |  ≤  M (nN ) ^m (m + 1 ) !  | x – x₀  | ^m + 1  . 
Итак, поскольку (8.m) справедливо для m = 1 и из (8.m) следует (8.m+1), то (8.m) выполняется для любых m . 

Запишем i -й ряд (7) в виде:
(7.i)   y^(0 )_i  + ^∞Σ_m = 1 u^(m )_i (x )  , 
где u^(m )_i (x )  = y^(m )_i (x )  – y^{(m – 1 )}_i (x )  . 
Применим (8.m) и заменим  | x – x₀  |  наибольшим допустимым значением a₀   : 
| u^(m )_i (x )  |  = | y^(m )_i (x )  – y^{(m – 1 )}_i (x )  |  ≤  M (nN ) ^m – 1 m!  | x – x₀  | ^m  ≤  M (nN ) ^m – 1 m! a^m₀  . 
Тогда каждый член ряда (7.i), кроме первого, ограничен по модулю членом ряда
(9)   ^∞Σ_m = 1 v_m  = ^∞Σ_m = 1 M (nN ) ^m – 1 m! a^m₀  . 
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
lim_{m → ∞} | v_m + 1 v_m   |  =  lim_{m → ∞} M (nN ) ^m a^m + 1₀ m!(m + 1 ) !M (nN ) ^m – 1 a^m₀  =  lim_{m → ∞} nNa₀ m + 1 = 0 < 1 . 
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.i), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.i) сходится равномерно для всех x ,  удовлетворяющих условию  | x – x₀  |  ≤ a₀  .  Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.i) есть непрерывная функция от x .  Поэтому предел
(10)   Y_i (x )  = lim_{m → ∞} y^(m )_i (x ) 
существует и является непрерывной функцией от x . 

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.m):
(5.m)   ^→y^(m ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt . 
Докажем, что при m → ∞ ,  это уравнение стремится к уравнению
(11)   ^→Y (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→Y (t ) )  dt . 

В силу (10) левая часть уравнения (5.m) стремится к ^→Y (x )  . 

Теперь покажем, что
lim_{m → ∞} ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt =  ^x∫_x0  f _i (t,  ^→Y (t ) )  dt . 

Перепишем правую часть (5.m):
^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt =  ^x∫_x0  f _i (t,  ^→Y (t ) )  dt –  ^x∫_x0 (  f _i (t,  ^→Y (t ) )  –  f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  )  dt . 
Далее заметим, что поскольку все y^(m )_i  принадлежат замкнутому интервалу | y^(m )_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b ,  то и Y_i  принадлежит этому интервалу, | Y_i  – y^(0 )_i  |  ≤ b .  Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:
| ^x∫_x0 (  f _i (t,  ^→Y (t ) )  –    f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  )  dt  |  ≤  | ^x∫_x0 |  f _i (t,  ^→Y (t ) )  –    f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  |  dt  |  ≤ 
 N | ⁿΣ_k = 1 ^x∫_x0  | Y_k (t )  – y^{(m – 1 )}_k (t )  |  dt  |  . 
Поскольку, при m → ∞ ,  y^(m )_i (x )  стремится к Y_i (x )  равномерно, то для любого положительного числа ε можно указать такое натуральное число m_0i  ,  что для всех m – 1 > m_0i  , 
(12)   | Y_i (x )  – y^{(m – 1 )}_i (x )  |  < ε . 
Пусть m₀  есть наибольшее из чисел m₀₁ ,  m₀₂ , ...  m_0n  .  Тогда (12) выполняется для всех m – 1 > m₀  и для всех i = 1,  2, ...  n . 
Тогда
N | ⁿΣ_k = 1 ^x∫_x0  | Y_k (t )  – y^{(m – 1 )}_k (t )  |  dt  |  <  Nnε | ^x∫_x0  dt  |  ≤ nNεa₀  . 
Поскольку ε произвольно, то
lim_{m → ∞}  ^x∫_x0 (  f _i (t,  ^→Y (t ) )  –   f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  )  dt = 0
Поэтому
lim_{m → ∞} ^x∫_x0  f _i (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt =  ^x∫_x0  f _i (t,  ^→Y (t ) )  dt . 
То есть при m → ∞ уравнение
(5.m)   ^→y^(m ) (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y^{(m – 1 )} (t ) )  dt . 
принимает вид
(11)   ^→Y (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→Y (t ) )  dt . 

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)   ^→y (x )  = ^→y^(0 )  + ^x∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt
имеет два решения ^→Y (x )  и ^→U (x )  ,  различающиеся в некоторой точке x_*  ,  принадлежащей интервалу  | x_*  – x₀  |  ≤ a₀  . 
Рассмотрим функцию
Z (x )  = ⁿΣ_k = 1  | Y_k (x )  – U_k (x )  |  =   | Y₁ (x )  – U₁ (x )  |  +   | Y₂ (x )  – U₂ (x )  |  +  ...   +  | Y_n (x )  – U_n (x )  |  . 
Тогда Z (x_* )  > 0 . 
Поскольку Y_i (x )  и U_i (x )  непрерывны, то и Z (x )  непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку x_*   : 
Z (x )  > 0 при x₀₁  < x < x₀₂  . 
Поскольку ^→Y (x₀ )  = ^→U (x₀ )  = ^→y₀  ,  то Z (x₀ )  = 0 .  То есть точка x₀  не принадлежит этому интервалу.

Если x₀₁  > x₀  ,  то преобразуем (4) следующим образом:
^→y (x )  = ^→y₀  + ^x₀₁∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt +  ^x∫_x01  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt =  ^→y₀₁  + ^x∫_x01  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt , 
где
^→y₀₁  = ^→y₀  + ^x₀₁∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt . 
Если переобозначить постоянные
x₀₁  → x₀ ;  ^→y₀₁  → ^→y₀  , 
то получим задачу (4), для которой
Z (x₀ )  = 0 ; 
Z (x )  > 0 при x₀  < x < x₂  , 
где x₂  – некоторое число, не превосходящее x₀  + a₀  . 

Если x₀₂  < x₀  ,  то поступаем аналогично:
^→y (x )  = ^→y₀  + ^x₀₂∫_x0  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt +  ^x∫_x02  ^→f (t,  y (t ) )  dt =  ^→y₀₂  + ^x∫_x02  ^→f (t,  ^→y (t ) )  dt , 
Переобозначим постоянные:
x₀₂  → x₀ ;  ^→y₀₂  → ^→y₀  . 
Получаем задачу (4), для которой
Z (x₀ )  = 0 ; 
Z (x )  > 0 при x₁  < x < x₀  , 
где x₁  – некоторое число, не меньшее x₀  – a₀  . 

Итак, мы имеем:
Z (x₀ )  = 0 ; 
Z (x )  > 0 при x₀  < x < x₂  ( или при x₁  < x < x₀  ).
Далее возьмем произвольное положительное число ε < x₂  – x₀  ( или ε < x₀  – x₁  ) и рассмотрим замкнутый интервал x₀  ≤ x ≤ x₀  + ε ( или x₀  – ε ≤ x ≤ x₀  ). Поскольку функция Z (x )  непрерывна, то она достигает наибольшего значения Z_max  в одной из точек x_max  этого интервала:
x₀  < x_max  ≤ x₀  + ε ( или x₀  – ε ≤ x_max  < x₀  ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:
Z_max  = Z (x_max )  =  ⁿΣ_k = 1  | Y_k (x_max )  – U_k (x_max )  |  = 
 ⁿΣ_k = 1 | ^x_max∫_x0 (  f _k (t,  ^→Y (t ) )  –    f _k (t,  ^→U (t ) )  )  dt  |  ≤  ⁿΣ_k = 1 | ^x_max∫_x0 |  f _k (t,  ^→Y (t ) )  –    f _k (t,  ^→U (t ) )  |  dt  |  ≤ 
 N ⁿΣ_k = 1 | ^x_max∫_x0 ⁿΣ_i = 1 | Y_i (t )  – U_i (t )  |  dt  |  =  N ⁿΣ_k = 1 | ^x_max∫_x0 Z (t )  dt  |  ≤  N ⁿΣ_k = 1 | ^x_max∫_x0 Z_max  dt  |  = 
 NZ_max ⁿΣ_k = 1 | x_max  – x₀  |  =  nNZ_max | x_max  – x₀  |  ≤ nNZ_max ε . 
Итак, мы получили оценку:
Z_max  ≤ nNZ_max ε . 
Поскольку Z_max  ≠ 0 ,  то разделим на Z_max   : 
1 ≤ nNε . 
Возникает противоречие, поскольку при ε < 1nN  это неравенство не выполняется.

Следовательно, Z (x )  не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому ^→Y = ^→U .  Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-06-2016