Методы решения физико-математических задач

Формула Коши для повторных интегралов

Формула Коши для повторных интегралов
Доказана формула Коши, которая сводит повторные интегралы от некоторой функции f к однократному. Показано, что эти интегралы являются частным решением дифференциального уравнения, в котором производная n-ой степени от y равна f(x), с нулевыми начальными условиями. Дано общее решение такого уравнения.
Содержание

Формула Коши

Формула Коши позволяет свести повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)   Yn (x )  =  x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn 
 = 1(n – 1 ) ! x∫x0  (x – t )  n – 1  f (t )  dt . 
Здесь f – интегрируемая на отрезке [x0 ,  x ]  функция. При этом Yn (x )  является частным решением дифференциального уравнения
(2)   y (n )   =  f (x ) 
с начальными условиями
(3)   y (x0 )  = 0,  y ′(x0 )  = 0,   y ′′(x0 )  = 0,...,  y (n – 1 )  (x0 )  = 0 . 

Часто в литературе повторный интеграл записывают так:
Yn (x )  =  x∫x0  x∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x∫x0  x∫x0 n раз  f (x )  dx dx⋅ ⋅ ⋅dx dx . 

Решение дифференциального уравнения y(n)=f(x)

Рассмотрим дифференциальное уравнение
y (n )   =  f (x )  . 
Изменим обозначение переменной x на x1   : 
y (n )  (x1 )  =  f (x1 )  . 
Проинтегрируем по x1  от x0  до x :
x∫x0  y (n )  (x1 )  dx1  =  x∫x0  dy (n – 1 )  (x1 ) dx1   dx1  =  x∫x0  dy (n – 1 )  (x1 )  = 
 y (n – 1 )  (x1 ) |  x1  = xx1  = x0   = y (n – 1 )  (x )  –  y (n – 1 )  (x0 )  = x∫x0   f (x1 )  dx1  ; 
y (n – 1 )  (x )  =  x∫x0   f (x1 )  dx1  + y (n – 1 )  (x0 )  . 

Часто, во входящем сюда интеграле, для переменной интегрирования x1  используют такое же обозначение, как и для верхнего предела интегрирования: x∫x0   f (x )  dx .  Это делают только с одной целью – уменьшить количество используемых переменных и получить более короткие формулы. Однако такая форма записи может привести к заблуждению. Для обозначения переменной интегрирования и пределов интегрирования лучше использовать различные переменные.

Переименуем переменную x на x2  ,  и проинтегрируем по x2  от x0  до x :
y (n – 1 )  (x2 )  =  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1  + y (n – 1 )  (x0 )  ; 
x∫x0  y (n – 1 )  (x2 )  dx2  =  y (n – 2 )  (x )  – y (n – 2 )  (x0 )  =  x∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2  +  y (n – 1 )  (x0 ) x∫x0  dx2  ; 
x∫x0  dx2  = x2 |  x2  = xx2  = x0   = x – x0  ; 
y (n – 2 )  (x )  = x∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1  dx2  +  y (n – 1 )  (x0 ) (x – x0 )  + y (n – 2 )  (x0 )  . 
Тем же способом интегрируем еще раз:
y (n – 2 )  (x3 )  = x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1  dx2  +  y (n – 1 )  (x0 ) (x3  – x0 )  + y (n – 2 )  (x0 )  ; 
y (n – 3 )  (x )  – y (n – 3 )  (x0 )  =  x∫x0  x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2 dx3  + 
 y (n – 1 )  (x0 ) x∫x0  (x3  – x0 )  dx3  +  y (n – 2 )  (x0 ) x∫x0  dx3  ; 
x∫x0  (x3  – x0 )  dx3  =  x∫x0  (x3  – x0 )  d (x3  – x0 )  =  12 (x3  – x0 )  2 |  x3  = xx3  = x0   = 
 12 (x – x0 )  2  – 12 (x0  – x0 )  2  =  12 (x – x0 )  ; 
y (n – 3 )  (x )  =  x∫x0  x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1  dx2  dx3  + 
 y (n – 1 )  (x0 ) 2 (x – x0 )  2  +  y (n – 2 )  (x0 ) (x – x0 )  + y (n – 3 )  (x0 )  . 

Выполняя интегрирование n раз, получим решение исходного дифференциального уравнения с начальными условиями   y (n – 1 )  (x0 )  = C1 ,   y (n – 2 )  (x0 )  = C2 ,...,   y ′(x0 )  = Cn – 1 ,  y (x0 )  = Cn   : 
(4)   y (x )  =  x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn  + C1 (n – 1 ) ! (x – x0 )  n – 1  + 
 C2 (n – 2 ) ! (x – x0 )  n – 2  + ⋅ ⋅ ⋅ +  Cn – 1 (x – x0 )  + Cn  . 

Отсюда видно, что если положить C1  = 0,  C2  = 0,...,  Cn  = 0 ,  то повторный интеграл
Yn (x )  =  x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn 
является частным решением дифференциального уравнения (2) с начальными условиями
y (x0 )  = 0,  y ′(x0 )  = 0,   y ′′(x0 )  = 0,...,  y (n – 1 )  (x0 )  = 0 . 

Формула (4) дает нам общее решение дифференциального уравнения (2). В правой части она содержит многочлен степени n. Если перейти к новым постоянным, то общее решение можно записать так:
y =  ∫ ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫n раз  f (x )  dx dx⋅ ⋅ ⋅dx dx +  ~C1  + ~C2 x + ~C3 x 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + ~Cn x n – 1  . 

Сведение повторного интеграла к однократному

Таким образом, для решения задачи, нам нужно проинтегрировать функцию  f (x )  n раз. Но оказывается, что стоящий в (4) интеграл можно преобразовать так, что задача сведется к вычислению только одного интеграла.

Случай n = 2

Для начала, возьмем случай n = 2 .  Рассмотрим входящий в (4) двукратный интеграл
(5)   Y2 (x )  = x∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2  . 
Изменим порядок интегрирования.

Формула Коши. Интегрирование сначала по x1, затем по x2.
Интегрируем по x1 , а затем по x2 .

Изобразим область интегрирования на рисунке. Проводим оси координат x1 ,  x2  .  Проведем прямую x2  = x1  .  В (5) мы сначала интегрируем по переменной x1  от x0  до прямой x2  = x1  .  Затем мы интегрируем по переменной x2  от x0  до x . Областью интегрирования является множество точек треугольника ABC с вершинами A (x0 , x0 ) ,  B (x0 , x ) ,  C (x, x )  . 

Формула Коши. Интегрирование сначала по x2, затем по x1.
Интегрируем по x2 , а затем по x1 .

Изменим порядок интегрирования. Сначала проинтегрируем по переменной x2  от прямой x2  = x1  до x , а затем по x1  от x0  до x . Тогда
(6)   Y2 (x )  = x∫x0  x∫x1   f (x1 )  dx2 dx1  . 
Поскольку функция f не зависит от переменной x2  ,  то в первом интеграле она является постоянной. Это позволяет нам его вычислить:
x∫x1   f (x1 )  dx2  =  f (x1 ) x∫x1  dx2  =   f (x1 )  x2 |  x2  = xx2  = x1   =  f (x1 ) (x – x1 )  . 
Подставим в (6):
Y2 (x )  = x∫x0  (x – x1 )  f (x1 ) dx1  . 
Видно, что при изменении порядка интегрирования, мы смогли вычислить один интеграл. В результате повторное интегрирование свелось к однократному интегралу:
(7)   Y2 (x )  = x∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2  =  x∫x0  x∫x1   f (x1 )  dx2 dx1  . 

Случай n = 3

Далее можно рассмотреть случай n = 3  : 
(8)   Y3 (x )  = x∫x0  x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2 dx3  . 
Используем формулу (7), в которой заменим x на x3   : 
x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2  =  x3 ∫x0  (x3  – x1 )  f (x1 ) dx1  . 
Применим ее для трехкратного интеграла (8):
Y3 (x )  = x∫x0  x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 )  dx1 dx2 dx3  =  x∫x0  x3 ∫x0  (x3  – x1 )  f (x1 ) dx1 dx3  . 
Теперь поменяем порядок интегрирования, как мы это делали ранее ⇑, только вместо переменной x2  у нас будет x3   : 
(9)   Y3 (x )  =  x∫x0  x3 ∫x0  (x3  – x1 )  f (x1 ) dx1 dx3  =  x∫x0  x∫x1  (x3  – x1 )  f (x1 ) dx3 dx1  . 
Вычисляем первый интеграл:
x∫x1  (x3  – x1 )  f (x1 )  dx3  =   f (x1 ) x∫x1  (x3  – x1 )  dx3  =   f (x1 ) 12 (x3  – x1 )  2 |  x3  = xx3  = x1   = 
  f (x1 ) 12 ( (x – x1 )  2  – (x1  – x1 )  2  )  =  12  f (x1 ) (x – x1 )  2  ; 
Подставляем в (9):
Y3 (x )  =  x∫x0  x∫x1  (x3  – x1 )  f (x1 ) dx3 dx1  =  12 x∫x0  (x – x1 )  2  f (x1 ) dx1  . 

Это наводит нас на мысль, что в общем случае, для произвольного n, повторный интеграл сводится к однократному по следующей формуле:
Yn (x )  = 1(n – 1 ) ! x∫x0  (x – t )  n – 1  f (t )  dt . 
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство формулы Коши

Формула Коши
Пусть функция f интегрируема на отрезке [x0 ,  x ]  . 
Тогда справедлива формула, сводящая повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)   Yn (x )  =  x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn 
 = 1(n – 1 ) ! x∫x0  (x – t )  n – 1  f (t )  dt . 
При этом функция Yn (x )  является частным решением дифференциального уравнения
(2)   y (n )   =  f (x ) 
с начальными условиями
(3)   y (x0 )  = 0,  y ′(x0 )  = 0,   y ′′(x0 )  = 0,...,  y (n – 1 )  (x0 )  = 0 . 
Доказательство

То что повторный интеграл
Yn (x )  =  x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn 
является частным решением дифференциального уравнения y (n )   =  f (x )  с начальными условиями (3), мы показали ранее ⇑.

Докажем формулу Коши (1), согласно которой повторный интеграл сводится к однократному. Доказательство будем производить методом математической индукции.

Подставим в (1) значение n = 1  : 
Yn (x )  = x∫x0   f (x1 )  dx1  =  1(1 – 1 ) ! x∫x0  (x – t )  1 – 1  f (t )  dt = 
 11 x∫x0  (x – t )  0  f (t )  dt= x∫x0   f (t )  dt ; 
x∫x0   f (x1 )  dx1  = x∫x0   f (t )  dt . 
Поскольку обозначение переменной интегрирования (x1 или t) не влияет на значение интеграла, то при n = 1 формула (1) справедлива.

Предположим, что формула (1) справедлива для некоторого значения n :
(10)   x∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn  = 1(n – 1 ) ! x∫x0  (x – t )  n – 1  f (t )  dt . 
Используя (10), нам нужно доказать, что она справедлива для значения n + 1  : 
(11)   x∫x0  xn + 1 ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn dxn + 1  = 1n! x∫x0  (x – t )  n  f (t )  dt . 

Для доказательства используем формулу (10), в которой заменим x на xn + 1   : 
xn + 1 ∫x0  xn ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn  = 1(n – 1 ) ! xn + 1 ∫x0  (xn + 1  – t )  n – 1  f (t )  dt . 
Подставим в левую часть (11), для удобства обозначая повторный интеграл как Yn + 1 (x )   : 
Yn + 1 (x )  =  x∫x0  xn + 1 ∫x0  ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0  x2 ∫x0   f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn dxn + 1 
 = 1(n – 1 ) ! ⋅  x∫x0  xn + 1 ∫x0  (xn + 1  – t )  n – 1  f (t ) dtdxn + 1  . 
Изменим порядок интегрирования, как мы это делали выше ⇑. Только вместо переменных x1 ,  x2  у нас будут t,  xn + 1   : 
(12)   Yn + 1 (x )  =  1(n – 1 ) ! ⋅  x∫x0  xn + 1 ∫x0  (xn + 1  – t )  n – 1  f (t ) dtdxn + 1  = 
 1(n – 1 ) ! ⋅  x∫x0  x∫t (xn + 1  – t )  n – 1  f (t ) dxn + 1 dt . 
Вычисляем первый интеграл:
x∫t (xn + 1  – t )  n – 1  f (t )  dxn + 1  =   f (t ) x∫t (xn + 1  – t )  n – 1  dxn + 1  = 
  f (t ) 1n (xn + 1  – t )  n  |  xn + 1  = xxn + 1  = t  =  1n  f (t ) ( (x – t )  n  – (t – t )  n  )  =  1n  f (t ) (x – t )  n  . 
Подставляем в (12):
Yn + 1 (x )  =  1(n – 1 ) ! ⋅  x∫x0  x∫t (xn + 1  – t )  n – 1  f (t ) dxn + 1 dt = 
 1(n – 1 ) ! x∫x0  1n  f (t ) (x – t )  n dt =  1n! x∫x0  (x – t )  n  f (t ) dt . 
Это совпадает с (11).

Формула Коши для повторных интегралов доказана.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

▲
Меню