Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка

Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка. Доказательство производится путем сведения уравнения к системе уравнений первого порядка.

Здесь мы рассмотрим теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения (ДУ) произвольного порядка. Для доказательства теоремы мы сведем ДУ к системе ДУ первого порядка и воспользуемся результатом теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.

Формулировка теоремы

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)   y^(n ) (x )  =  f (x,  y,  y^′,  y^′′, ...  y^{(n – 1 )} ) 
с начальными условиями при x = x₀   : 
(2)   y (x₀ )  = y₀  ,  y^′(x₀ )  = y^′₀ ,  y^′′(x₀ )  = y^′′₀ ,  ... , y^{(n – 1 )} (x₀ )  = y^{(n – 1 )}₀  , 
где x₀ ,  y₀ ,  y^′₀,  y^′′₀, ...  y^{(n – 1 )}₀  – некоторые числа (постоянные).
Пусть  f (x,  y₁ ,  y₂ ,  y₃ , ...  y_n )  – непрерывная функция от n + 1 переменных в замкнутой области R  : 
 | x – x₀  |  ≤ a ;     | y₁  – y₀  |  ≤ b ;     | y₂  – y^′₀ |  ≤ b ;     | y₃  – y^′′₀ |  ≤ b ;    ... ;    | y_n  – y^{(n – 1 )}₀  |  ≤ b
и, следовательно, ограничена, по абсолютной величине, некоторым положительным значением M  : 
(3)    |  f  |  ≤ M . 
Здесь a и b есть некоторые положительные числа.
И пусть функция  f  удовлетворяет в области R условию Липшица:
(4)   |  f (x,  u₁ ,  u₂ , ...  u_n )  –   f (x,  v₁ ,  v₂ , ...  v_n )  |  ≤  N ( | u₁  – v₁  |  + | u₂  – v₂  |  +  ...     + | u_n  – v_n  |  )  , 
где N – положительное число;
 | u₁  – y₀  |  ≤ b ;     | u₂  – y^′₀ |  ≤ b ;     | u₃  – y^′′₀ |  ≤ b ;    ... ;    | u_n  – y^{(n – 1 )}₀  |  ≤ b ; 
 | v₁  – y₀  |  ≤ b ;     | v₂  – y^′₀ |  ≤ b ;     | v₃  – y^′′₀ |  ≤ b ;    ... ;    | v_n  – y^{(n – 1 )}₀  |  ≤ b . 
Тогда существует единственное решение уравнения (1):
y = y (x )  , 
удовлетворяющее начальным условиям (2), определенное и непрерывное для значений x в интервале:
 | x – x₀  |  ≤ a₀  , 
где a₀  есть наименьшее из двух чисел a и bM  . 

Доказательство теоремы

Приведение к системе дифференциальных уравнений

Для доказательства, приведем уравнение
(1)   y^(n ) (x )  =  f (x,  y,  y^′,  y^′′, ...  y^{(n – 1 )} ) 
к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводим n – 1 вспомогательных функций от переменной x  : 
y₂ ,  y₃ , ...  y_n  . 
Свяжем их соотношениями:
dydx = y₂  ;    dy₂ dx = y₃  ;    dy₃ dx = y₄  ;    ...   dy_n – 1 dx = y_n  . 

Дифференцируя уравнение dydx = y₂  по x ,  находим:
d² ydx²  = dy₂ dx = y₃  ; 
d² ydx²  = y₃  . 
Дифференцируя еще раз, имеем:
d³ ydx³  = dy₃ dx = y₄  ; 
d³ ydx³  = y₄  . 
Таким образом
y^(m )  = y_m + 1  (m = 1, 2, 3,..., n – 1 )  . 
При   m = n – 1   имеем:
d^n – 1 ydx^n – 1  = y_n  . 
Дифференцируем по x  : 
y^(n )  = dy_n dx  . 

Тогда исходное уравнение (1) можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
(5.1)   dydx = y₂  ; 
(5.2)   dy₂ dx = y₃  ; 
(5.3)   dy₃ dx = y₄  ; 
...
(5.n)   dy_n dx =  f (x,  y (x ) ,  y₂ (x ) , ...  y_n (x ) )  , 
с начальными условиями:
(6)   y (x₀ )  = y₀  ,  y₂ (x₀ )  = y^′₀ ,  y₃ (x₀ )  = y^′′₀ ,  ... , y_n (x₀ )  = y^{(n – 1 )}₀  . 

Применение теоремы единственности и существования для системы дифференциальных уравнений

Теперь воспользуемся результатом теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.

В нашем случае
 f ₁ (x,  y,  y₂ ,  y₃ , ...,  y_n )  = y₂  ; 
 f ₂ (x,  y,  y₂ ,  y₃ , ...,  y_n )  = y₃  ; 
...
 f _n – 1 (x,  y,  y₂ ,  y₃ , ...,  y_n )  = y_n  ; 
 f _n (x,  y,  y₂ ,  y₃ , ...,  y_n )  =   f (x,  y,  y₂ ,  y₃ , ...,  y_n )  . 
Для удобства переобозначим переменные.
 f ₁ (x,  u₁ ,  u₂ ,  u₃ , ...,  u_n )  = u₂  ; 
 f ₂ (x,  u₁ ,  u₂ ,  u₃ , ...,  u_n )  = u₃  ; 
...
 f _n – 1 (x,  u₁ ,  u₂ ,  u₃ , ...,  u_n )  = u_n  ; 
 f _n (x,  u₁ ,  u₂ ,  u₃ , ...,  u_n )  =   f (x,  u₁ ,  u₂ ,  u₃ , ...,  u_n )  . 

Все функции  f _i  непрерывны по своим аргументам.  f _n  непрерывна по условию теоремы. Остальные функции зависят только от одного из аргументов и являются линейными функциями. Поэтому они тоже непрерывны.

Все функции  f _i  удовлетворяют условию Липшица.  f _n  удовлетворяет условию Липшица по условию теоремы. Частные производные ∂ f _i ∂u_k   остальных функций либо равны нулю ( при i ≠ k – 1 ), либо равны единице ( при i = k – 1 ). Поэтому частные производные ∂ f _i ∂u_k   непрерывны. Из этого следует, что функции  f _i  удовлетворяют условию Липшица. Доказательство этого утверждения приведено в разделе “Условие Липшица”.

Итак, все условия теоремы существования и единственности решения системы ДУ выполнены. Поэтому решение системы (5) с начальными условиями (6) существует и единственно. И, следовательно, решение дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) также существует и единственно.

Теорема доказана.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-07-2016