Дифференциальное уравнение y(n) = f(x)
Общее решение
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, в котором n-я производная равна функции от независимой переменной x :
(1) y (n ) = f (x ) .
Оно решается непосредственным интегрированием.
y (n ) = dy (n – 1 ) dx = f (x ) ;
y (n – 1 ) = ∫ f (x ) dx + C1 ;
y (n – 2 ) = ∫ y (n – 1 ) (x ) dx + C2 = ∫ ( ∫ f (x ) dx + C1 ) dx + C2 =
∫ ∫ f (x ) dx dx + C1 ∫ dx + C2 ;
y (n – 2 ) = ∫ ∫ f (x ) dx dx + C1 x + C2 ;
y (n – 3 ) = ∫ y (n – 2 ) (x ) dx + C3 = ∫ (∫ ∫ f (x ) dxdx + C1 x + C2 ) dx + C3 =
∫ ∫ ∫ f (x ) dx dx dx + C1 ∫ x dx + C2 ∫ dx + C3 ;
y (n – 3 ) = ∫ ∫ ∫ f (x ) dx dx dx + C1 2 x 2 + C2 x + C3 ;
. . . . . . . .
y = ∫ ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫n раз f (x ) dx dx⋅ ⋅ ⋅dx dx +
C1 (n – 1 ) ! x n – 1 + C2 (n – 2 ) ! x n – 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 x + Cn .
Заменим постоянные интегрирования:
C1 (n – 1 ) ! = ~Cn , C2 (n – 2 ) ! = ~Cn – 1 , ..., Cn – 1 = ~C2 , Cn = ~C1 .
Тогда
(2) y = ∫ ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫n раз f (x ) dx dx⋅ ⋅ ⋅dx dx + ~C1 + ~C2 x + ~C3 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ~Cn x n – 1 .
В результате мы получили общее решение (2) уравнения (1). Оно представляет собой сумму n-кратного повторного интеграла и многочлена степени n – 1 .
Таким образом, если нас интересует общее решение уравнения (1), то мы должны проинтегрировать функцию f (x ) n раз, и прибавить многочлен степени n – 1 , коэффициентами которого являются постоянные интегрирования.
Частное решение с заданными начальными условиями
Если нас интересует задача Коши с заданными начальными условиями
(3) y (n – 1 ) (x0 ) = C1 , y (n – 2 ) (x0 ) = C2 ,..., y ′(x0 ) = Cn – 1 , y (x0 ) = Cn ,
то соответствующее частное решение имеет следующий вид:
(4) y (x ) = x∫x0 xn ∫x0 ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0 x2 ∫x0 f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn + C1 (n – 1 ) ! (x – x0 ) n – 1 +
C2 (n – 2 ) ! (x – x0 ) n – 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 (x – x0 ) + Cn .
См. «Решение дифференциального уравнения y(n)=f(x) с заданными начальными условиями».
Применение формулы Коши для повторных интегралов
Входящий в (4) n-кратный интеграл можно свести к однократному, если воспользоваться формулой Коши для повторных интегралов:
(5) x∫x0 xn ∫x0 ⋅ ⋅ ⋅ x3 ∫x0 x2 ∫x0 f (x1 ) dx1 dx2 ⋅ ⋅ ⋅dxn – 1 dxn = 1(n – 1 ) ! x∫x0 (x – t ) n – 1 f (t ) dt .
Тогда решение уравнения (1) с начальными условиями (3) примет более простой вид:
(6) y (x ) = 1(n – 1 ) ! x∫x0 (x – t ) n – 1 f (t ) dt +
C1 (n – 1 ) ! (x – x0 ) n – 1 + C2 (n – 2 ) ! (x – x0 ) n – 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 (x – x0 ) + Cn .
Вывод формулы Коши (5) изложен на странице «Формула Коши для повторных интегралов». Здесь мы покажем, что функция y (x ) , определяемое по формуле (6), удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).
Дифференцируем (6):
y ′ = 1(n – 1 ) ! limt → x ((x – t ) n – 1 f (t ) ) + 1(n – 1 ) ! ⋅ x∫x0 ∂((x – t ) n – 1 f (t ) ) ∂x dt +
C1 (n – 1 ) (n – 1 ) ! (x – x0 ) n – 2 + C2 (n – 2 ) (n – 2 ) ! (x – x0 ) n – 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 =
1(n – 1 ) ! (x – x ) n – 1 f (x ) + n – 1(n – 1 ) ! x∫x0 (x – t ) n – 2 f (t ) dt +
C1 (n – 2 ) ! (x – x0 ) n – 2 + C2 (n – 3 ) ! (x – x0 ) n – 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 =
0 + 1(n – 2 ) ! x∫x0 (x – t ) n – 2 f (t ) dt+ C1 (n – 2 ) ! (x – x0 ) n – 2 + C2 (n – 3 ) ! (x – x0 ) n – 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn – 1 .
Выполняя n – 1 дифференцирований, получаем:
y (n – 1 ) = x∫x0 f (t ) dt + C1 .
Дифференцируя еще раз, приходим к уравнению (1):
y (n ) = f (x ) .
Пример
Найти общее решение уравнения:
y ′′′ sin 4 x = sin 2x .
Решение
Разделим исходное уравнение на sin 4 x . При sin x ≠ 0 получаем уравнение вида (1):
y ′′′ = sin 2xsin 4 x .
Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:
y ′′′ = sin 2xsin 4 x = 2 sin x cos xsin 4 x = 2 cos xsin 3 x .
Интегрируем:
y ′′ = 2 ∫ cos xsin 3 x dx= 2 ∫ (sin x ) – 3 d (sin x ) = 2– 3 + 1 (sin x ) – 3 + 1 + C1 =
– 1sin 2 x + C1 .
Интегрируем еще два раза:
y ′ = – ∫ dxsin 2 x + C1 ∫ dx= ctg x + C1 x + C2 ;
y = ∫ ctg x dx+ ∫ (C1 x + C2 ) dx= ∫ cos x dxsin x + 12 C1 x 2 + C2 x =
∫ d (sin x ) sin x + 12 C1 x 2 + C2 x = ln | sin x | + 12 C1 x 2 + C2 x + C3 .
Преобразуем постоянные интегрирования:
C1 → 2C3 ; C3 → C1 .
Ответ
y = ln | sin x | + C1 + C2 x + C3 x 2 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: