Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.
Содержание
Метод решения
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1) .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки
.
Действительно, тогда:
;
;
...
.
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
.
Пример
Решить уравнение:
Решение
Делаем подстановку:
.
Тогда:
.
Подставляем:
.
Разделяем переменные:
.
При u ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем:
.
Или:
.
Отсюда:
.
Интегрируем:
.
Интегрируем еще раз:
.
Интегрируем по частям:
.
Окончательно имеем:
.
Заменим постоянную:
.
Тогда
.
Теперь рассмотрим случай:
.
также является решением исходного уравнения. Интегрируем:
;
.
Ответ
;
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: