Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Метод решения
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1) .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки
.
Действительно, тогда:
;
;
...
.
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
.
Пример 1
Решить уравнение:
Решение
Делаем подстановку:
.
Тогда:
.
Подставляем:
.
Разделяем переменные:
.
При u ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем:
.
Или:
.
Отсюда:
.
Интегрируем:
.
Интегрируем еще раз:
.
Интегрируем по частям:
.
Окончательно имеем:
.
Заменим постоянную:
.
Тогда
.
Теперь рассмотрим случай:
.
также является решением исходного уравнения. Интегрируем:
;
.
Ответ
;
.
Пример 2
Решить уравнение:
(2.1) .
Решение
Уравнение не содержит явно функцию y. Делаем подстановку
, где u – функция от x. Тогда
.
Подставляем в исходное уравнение.
(2.2) .
Разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
(2.3) .
Применим формулу суммы арктангенсов.
при ;
при .
Подставим в (2.3), включив постоянную , если возникнет, в .
При имеем.
. Отсюда
.
Заменим постоянную .
(2.4) .
Из последней формулы выражаем u, подставляем , и интегрируем.
;
;
;
.
При имеем.
;
(2.5) .
Мы получили общее решение, пологая и . Теперь исследуем эти случаи, исключенные из рассмотрения.
Пусть . Отсюда
.
Интегрируем.
.
Нетрудно проверить, что функция
(2.6) является решением исходного уравнения.
Рассмотрим значение постоянной . Из (2.4), имеем.
;
.
Интегрируем.
.
Функция также является решением исходного уравнения.
В заключении можно упростить вид общего решения (2.5), если вместо постоянной использовать отличную от нуля постоянную с помощью подстановки . В общем решении . Поэтому такая замена не приведет к потере решения. Подставляем в (2.5).
.
Постоянную включим в :
(2.7) .
Выше мы наложили условие . Однако, при получается частное решение (2.6). Поэтому может принимать любые значения, а решение (2.6) содержится в (2.7). Наконец, переобозначив , получаем окончательно.
Ответ
;
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: