Методы решения физико-математических задач

Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков

Обобщенно однородное относительно переменных дифференциальное уравнение высшего порядка и метод понижения его порядка
Дано определение и указано как распознать обобщенно однородное относительно переменных дифференциальное уравнение высшего порядка. Приводится подстановка, с помощью которой в этом уравнении можно понизить порядок. Подробно рассмотрен пример решения обобщенно однородного ДУ второго порядка.

Определения однородных уравнений и функций

Ранее мы рассматривали дифференциальные уравнения высших порядков, однородные относительно функции и ее производных. Теперь рассмотрим уравнения, однородные относительно переменных. Эти уравнения не меняют вид, если сделать замену
,
где t – постоянная. Однако мы немного усложним задачу, и будем рассматривать уравнения, которые не меняют вид при замене
(1)   .
При этом производная порядка m умножается на :
.
Такие уравнения называются обобщенными однородными дифференциальными уравнениями высших порядков относительно переменных. Число s называют измерением однородности для переменной y.

Функция, зависящая от производных и переменных, называется обобщенно однородной относительно переменных, если она обладает следующим свойством:
(2)   ,
где t – произвольное выражение;
Коэффициент p называется показателем однородности функции. Его также называют измерением однородности функции f.

Таким образом, если у нас имеется дифференциальное уравнение
(3)   ,
и при этом функция f обладает свойством (2), то такое уравнение является обобщенно однородным относительно переменных. Действительно, выполнив замену (1) в уравнении (3), и воспользовавшись (2), имеем:
;
;
.
Постоянная t сократилась. Значит это обобщенно однородное уравнение относительно переменных.

Заметим, что обобщенно однородное уравнение в общем виде можно записать так:
(4)   .
Это наиболее общая форма записи уравнения, которое не меняет вид при замене (1).

При определении обобщенно однородных уравнений можно рассмотреть и более общую замену
,
введя измерение однородности k и для переменной x. Однако, если принять во внимание, что , то такая замена сводится к (1) с измерением однородности , и поэтому не дает ничего нового.

Как распознать обобщенно однородное относительно переменных дифференциальное уравнение высшего порядка

Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенно однородным относительно переменных, надо в уравнении выполнить следующие замены:
.
Если удастся подобрать такое число s, в результате чего t сократится, то это обобщенное однородное ДУ с измерением однородности s для переменной y.

Пример

Покажем, что следующее уравнение является обобщенно однородным:
(П1)   .

Для этого делаем замену (1), и попытаемся найти такое s, при котором t сократится:
;
;
;
;
;
;
;
.
Левая часть уравнения (П1):

.
Для того, чтобы множители, содержащие t можно было вынести за скобки, они должны быть равны:
.
Отсюда
;
.
Таким образом, при все множители, содержащие t равны . Поэтому их можно сократить, в результате чего уравнение (П1) сохранит свой вид. Это означает, что уравнение (П1) является обобщенно однородным уравнением относительно переменных с измерением однородности для переменной y, . При этом функция

имеет показатель однородности (или измерение однородности ).

В заключение, приведем исходное уравнение к виду (4), выполняя преобразования.



.
Отсюда получаем уравнение
,
где .

Метод решения обобщенно однородных уравнений

Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению, не содержащему независимую переменную, при помощи подстановки:
(2.1)   при ,
или при .
Здесь t – новая независимая переменная; – новая зависимая переменная, то есть функция от t:
.
Зависимость определяется из (2.1) в параметрическом виде.

После подстановки (2.1) в исходное уравнение, множители, содержащие переменную t, сокращаются, и мы получаем дифференциальное уравнение, не содержащее в явном виде зависимую переменную t. Далее приводится пример решения такого уравнения.

Пример

Решить уравнение:
(П2.1)  

Решение

В первом примере ⇑ мы показали, что это обобщенно однородное уравнение относительно переменных с измерением однородности для переменной . Понижаем его порядок с помощью (2.1).

Поскольку в исходное уравнение входит , то оно определено при . Делаем подстановку
(П2.2)   .
Здесь t – новая независимая переменная; – зависимая переменная, то есть функция от t:
.

В исходное уравнение (П2.1) входят производные и по переменной x. Выразим их через переменную t. Для этого из (П2.2) находим производные x и y по t:

.
Находим производную y по x, применяя правило дифференцирования функции, заданной параметрическим способом.
.
Тем самым мы нашли производную y по x, в параметрическом виде:
(П2.3)  
Находим вторую производную y по x. Для этого дифференцируем из (П2.3) по t:

.
Снова применяем правило дифференцирования параметрической функции.
.

Подставляем , выраженные через , и производные по t в исходное уравнение (П2.1).

;
;
;
;

.
Сокращаем множитель и выполняем дальнейшие преобразования.
;
;
(П2.4)   .

Мы получили дифференциальное уравнение, не содержащее зависимую переменную t в явном виде. Делаем подстановку
(П2.5)   .
Теперь мы считаем, что независимой переменной является , а зависимой – u. То есть u – является функцией от :
.
Выражаем вторую производную по t через переменные и u, применяя правило дифференцирования сложной функции, и применяя (П2.5).
;
.
Подставляем в (П2.4).
.

Делим на u. При имеем:
.

В переменных и u мы получили дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяем переменные и интегрируем.
;

Делим на . При имеем:
;
;
.
Потенцируем.
.
Раскрытие знаков модулей эквивалентно умножению на постоянную или . Заменим постоянную: .
.

Переходим к переменным t и , подставляя .
.
Разделяем переменные и интегрируем.
.

При имеем:
;
;
;
;
.
Потенцируем.
.
Заменим постоянную и выполняем преобразования.
;
.
Снова заменим постоянную .
.

Переходим к переменным x и y, используя (П2.2).

;
(П2.6)   .

Теперь рассмотрим случаи , , , , которые мы исключили при выполнении операций деления.

1) Рассмотрим случай . Отсюда
– произвольная постоянная. Тогда
(П2.7)   .
Подстановкой можно убедиться, что удовлетворяет уравнению (П2.4). Поэтому (П2.7) является решением исходного уравнения (П2.1).

Однако почти все решения вида (П2.7) уже включены в (П2.6) при . Из уравнения можно определить для всех C, кроме значения : . Поэтому к решению вида (П2.6) нужно добавить только одно решение (П2.7) с :
.

2) Рассмотрим случай . При этом
.
Это решение мы уже добавили.

3) Рассмотрим случай :
;
;
(П2.8)   .
Можно убедиться, что удовлетворяет уравнению (П2.4). Поэтому (П2.8) является решением исходного уравнения (П2.1).

4) Рассмотрим случай . Отсюда
;
Выше мы рассмотрели более общий случай . Поэтому здесь ничего нового нет.

Ответ

;
;
.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

.     Опубликовано:

Меню