Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Дифференциальное уравнение высшего порядка, однородное относительно функции и ее производных

– это уравнение вида
 f (x,  y,  y^′,  y^′′,...,  y^(n ) )  = 0 ,  где функция  f  обладает свойством
 f (x,  ty,  ty^′,  ty^′′,...,  ty^(n ) )  =  t^p  f (x,  y,  y^′,  y^′′,...,  y^(n ) )  ,    p ≠ 0 . 
Такие уравнения можно выразить через произвольную функцию:
F ( x, y^′y , y^′′y , y^′′′y , ⋅ ⋅ ⋅, y^(n ) y  )  = 0 . 

Как распознать однородное дифференциальное уравнение высшего порядка

Для того, чтобы распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных, нужно ввести постоянную t и сделать замену y → ty, y' → ty', y'' → ty'', и т.д. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то это дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных.

Решение однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение высшего порядка допускает понижение порядка с помощью подстановки:
y^′ = uy , 
где u – функция от x .
Действительно, тогда:
y^′′ = (y^′ ) ^′ = (uy ) ^′ = u^′y + uy^′ = u^′y + uuy = y (u^′ + u² )  ; 
y^′′′ = (y^′′ ) ^′ = (y (u^′ + u² ) ) ^′ = y^′(u^′ + u² )  + y (u^′ + u² ) ^′ = 
 uy (u^′ + u² )  + y (u^′′ + 2uu^′ )  = y (u^′′ + 3uu^′ + u³ )  . 
И т. д. Отсюда
y^′y = u ; 
y^′′y = u^′ + u²  ; 
y^′′′y = u^′′ + 3uu^′ + u³  . 
И т. д. При подстановке в исходное уравнение
F ( x, y^′y , y^′′y , y^′′′y , ...  )  = 0 , 
получаем уравнение относительно u , порядок которого понижен на единицу:
F (x, u, u^′ + u² ,  u^′′ + 3uu^′ + u³ , ... )  = 0 . 

Пример решения однородного дифференциального уравнения высшего порядка

Решить уравнение:
x² yy^′′ = (y – xy^′ ) ²  . 

Решение

Проверим, является ли данное уравнение однородным относительно функции и ее производных. Делаем замену
y → ty, y′ → ty′, y′′ → ty′′:
x² tyty^′′ = (ty – xty^′ ) ²  = t² (y – xy^′ ) ²  ; 
Или
t²  ⋅ x² yy^′′ = t²  ⋅ (y – xy^′ ) ²  . 
t сокращается. Поэтому это однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y^′ = uy . 
Тогда:
y^′′ = (y^′ ) ^′ = (uy ) ^′ = u^′y + uy^′ = u^′y + uuy = y (u^′ + u² )  . 
Подставляем в исходное уравнение:
x² yy (u^′ + u² )  = (y – xuy ) ²  = y² (1 – xu ) ²  . 
Сокращаем на y² :
x² (u^′ + u² )  = (1 – xu ) ²  = 1 – 2xu + x² u²  ; 
x² u^′ + x² u²  = 1 – 2xu + x² u²  ; 
x² u^′ = 1 – 2xu ; 
x² u^′ + 2xu = 1 . 

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается с помощью интегрирующего множителя, который в данном случае равен единице:
x² u^′ + 2xu = x² u^′ + (x² ) ^′u = d (x² u ) dx = 1 . 
Отсюда:
x² u = ∫ dx = x + C₁  ; 
y^′y = u = 1x + C₁ x²   ; 
dydx y = 1x + C₁ x²   . 
Умножаем на dx и интегрируем:
dyy = ( 1x + C₁ x²   ) dx ; 
∫ dyy = ∫ ( 1x + C₁ x²   ) dx = ∫ dxx + C₁ ∫ x^– 2 dx . 

Интегралы табличные:
ln  | y |  = ln  | x |  – C₁ x + ln C₂  . 
Потенцируем (знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в C₂):
y = C₂ xe^{– C₁  / x}  . 
Заменим постоянную C₁ → - C₁ .

Ответ

y = C₂ xe^{C₁  / x}  . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-07-2013