Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной

Пример понижения порядка в дифференциальном уравнении с полной производной
Показано как понизить порядок дифференциального уравнения с полной (точной) производной. Рассмотрены методы выделения полной производной, и примеры применения этих методов для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

Понижение порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)   .
Порядок этого уравнения легко понизить, если его левая часть является полной (точной) производной по переменной x от некоторой функции :
(2)  
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
(3)   .
Он представляет собой дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше по сравнению с исходным уравнением (1).

Сделаем пояснения по поводу полной производной. Ее также называют точной производной. Пусть – некотрая функция, зависящая от переменной x. Найдем ее производных, и подставим в Φ. В результате получим сложную функцию, зависящую от одной переменной x:
(4)   .
Производная функции называется полной производной функции по x. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
(5)   .

Тогда если выполняется (2), то подставляя (5) в (1) получаем:
.
Отсюда . Учитывая (4), получаем (3):
.

Методы выделения полной производной

Как видно из (1) и (2), если левая часть уравнения является полной производной по переменной x, то оно имеет следующий вид:
.
Все входящие сюда частные производные зависят только от переменных . Старшая производная входит линейным образом только в последний член. То есть, чтобы левая часть уравнения являлась полной производной, необходимо, чтобы уравнение было линейным относительно старшей производной.

Общего способа, позволяющего гарантированно выделить полную производную в уравнении, нет. Для выделения полной производной можно применять те же методы, что и при выделении полного дифференциала в уравнениях первого порядка. См. Методы определения интегрирующего множителя

Эти методы заключаются в том, что можно умножать и делить уравнение на множители, составленные из переменных , и применять следующие формулы:
(Ф1)   ;
(Ф2)   ;
(Ф3)   ;
(Ф4)   .
Здесь и – функции от x, возможно сложные. То есть и могут зависеть от x и переменных , которые в свою очередь зависят от x.

Далее мы рассмотрим примеры решений дифференциальных уравнений с помощью выделения полной производной.

Примеры

Все примеры Ниже рассмотрены следующие примеры, в которых нужно решить дифференциальные уравнения методом выделения полной производной.


Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
(П1.1)   .

Решение

Разделим (П1.1) на . При имеем:
(П1.2)   .

Выделяем полную производную, используя (Ф4).
;
;
.

Подставляем в (П1.2) и применяем (Ф1).
;
. Отсюда получаем первый интеграл:
.

Потенцируем:
.
Убираем знаки модуля:
.
Заменим постоянную: . Подставляем:
.
Поскольку , то . Переобозначим постоянную . Тогда первый интеграл принимает следующий вид:
(П1.3)   .

Теперь рассмотрим случай , который мы до этого отбросили ⇑. Нетрудно видеть, что удовлетворяет исходному уравнению (П1.1). Оно получается из (П1.3), если положить . Таким образом постоянная может принимать нулевое значение. Отбрасываем условие :
(П1.4)   .

Разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
;
Логарифмируем:
.

Ответ

.

Пример 2

Решить уравнение, преобразовав его к полной производной:
(П2.1)   .

Решение

Чтобы упростить уравнение, сделаем подстановку:
(П2.2)   .
Тогда оно примет следующий вид:
(П2.3)   .

Подставим . При этом во втором слагаемом запишем так: . Получаем:
(П2.4)   .

Теперь замечаем, что
.
Поэтому умножим (П2.4) на , и выполним преобразования:
;
(П2.5)   .

Когда мы умножаем уравнение на множитель , мы автоматически добавляем решение , которое может не содержаться в исходном уравнении. В нашем случае мы автоматически добавили решения и . Однако нетрудно видеть, что они удовлетворяют исходному уравнение (П2.4). Поэтому в результате умножения на множитель, у нас не будет лишних решений, которые не удовлетворяют исходному уравнению.

Теперь можно применить правило дифференцирования частного (Ф3). Тогда, чтобы (П2.5) приняло вид полной производной дроби, разделим его на . При имеем:
;
.
Отсюда получаем первый интеграл:
(П2.6)   .

Операция деления на справедлива, если знаменатель не обращается в нуль. Поэтому далее мы ищем решение при . После того, как решение будет найдено, мы рассмотрим случай .

Из (П2.6) имеем:
.
Заменим постоянную интегрирования :
(П2.7)   .
Замена постоянной позволяет получить выражение, не загроможденное лишними операциями. При этом также нужно следить, чтобы не произошло потери части решений, или не появились новые. В нашем примере, старая постоянная может принимать любые значения: . Тогда и новая постоянная может принимать любые значения: .

Разделяем переменные в (П2.7) и интегрируем.
;
;
;
.
Снова заменим постоянные: .
.
Извлекая корень четной степени 4 от переменной u, возведенной в четную степень 4, нужно помнить, что результат может иметь два знака – положительный или отрицательный:
(П2.8)   .

Возвращаемся к переменной y (см. (П2.2)), и интегрируем. При имеем. ;

;
;


;
.
Еще раз заменим постоянные: :
(П2.9)   .

Теперь рассмотрим случай , который мы выше ⇑ исключили из рассмотрения. Из (П2.8) и (П2.2) имеем:
.
Здесь . Заменим постоянную . Новая постоянная может принимать любые значения, кроме нулевого: . Тогда
(П2.10)   .
Заметим, что в этом случае, . Интегрируем.
;
.
Заменив постоянную , получаем:
(П2.11)   .

Теперь рассмотрим случай , который мы отбросили при делении ⇑ на :
.
Это уравнение имеет вид (П2.10) с . Тогда (П2.11) также является решением уравнения , если положить . Отбросим в (П2.11) условие . В результате получаем решение, в котором :
.

Наконец, мы можем переобозначить постоянные: . В результате получаем решение, справедливое при :
.

Ответ

  при   ;
  при   .

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения, преобразовав его к полной производной:
(П3.1)   .

Решение

Попробуем привести уравнение к полной производной, применяя формулы (Ф2) и (Ф3).

Преобразуем исходное уравнение (П3.1), собрав в левой части члены, содержащие логарифм:
;
.

Разделим на и используем формулу (Ф3). При имеем:
;
(П3.2)   .

Применим к (П3.2) формулу (Ф2), записав ее аналогично интегрированию по частям в следующем виде: .
.
Здесь мы учли, что   .
Подставляем в (П3.2) и выделяем полную производную:
;
;
.
Левая часть уравнения является полной производной. Отсюда получаем первый интеграл:
.

Разделяем переменные и интегрируем.
.
Возводим левую и правую части уравнения в степень -1. Случай разбирать не нужно, поскольку исходное уравнение (П3.1) не определено при . При имеем:
;
;
(П3.3)   .

Вычисляем интегралы.
.
.

Подставляем в (П3.3) и потенцируем.
;
.

Заменим постоянную интегрирования . Новая постоянная может принимать только положительные значения: . Тогда
.
Убираем знак модуля:
.
Знак ± включим в состав постоянной . Тогда она может принимать и положительные отрицательные значения, не равные нулю. Переобозначим постоянную :
(П3.4)   .

Теперь рассмотрим случай . Нетрудно видеть, что функция является решением исходного уравнения (П3.1). Она входит в (П3.4), если положить . Таким образом, (П3.4) является решением уравнения и при . Отменяем ограничение :
.

Потенцируем.
.

Сделаем замену постоянных . Тогда
.

Осталось рассмотреть случай . Если подставить в исходное уравнение (П3.1), то оно выполняется.
Решаем уравнение . Его решение . Таким образом, при , уравнение (П3.1) имеет решение .

Ответ

  при   ;
  при   .

Использованная литература.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
В. М. Ипатова, О. А. Пыркова, В. Н. Седов. Дифференциальные уравнения. Методы решений. Москва, МФТИ, 2012.
А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

.     Опубликовано:

Меню