Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы

Даны все свойства арктангенса и арккотангенса, их графики, формулы, таблица арктангенсов и арккотангенсов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложения в степенные ряды.

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс ( y = arctg x )

 – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения  – ∞ < x < + ∞  и множество значений  – π2 < y < π2  . 
tg(arctg x) = x     (– ∞ < x < + ∞ ) ; 
arctg(tg x) = x     ( – π2 < x < π2  ) . 

Арктангенс обозначается так:
arctg x ≡ arctan x ≡ tan^– 1 x . 

График функции арктангенс

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   – π2 < y < π2  ,  на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс ( y = arcctg x )

 – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения  – ∞ < x < + ∞  и множество значений  0 < y < π . 
ctg(arcctg x) = x     (– ∞ < x < + ∞ ) ; 
arcctg(ctg x) = x     0 < y < π . 

Арккотангенс обозначается так:
arcctg x ≡ arccot x ≡ cot^– 1 x . 

График функции арккотангенс

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   0 < y < π ,  на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

1√ 3    ≈ 0,5773502691896258
√ 3   ≈ 1,7320508075688772

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
arctg x = π2 – arcctg x = arcsin x√ 1 + x²    
arcctg x = π2 – arctg x = arccos x√ 1 + x²    
arcsin x = arctg x√ 1 – x²    
arccos x = arcctg x√ 1 – x²    

Формулы суммы и разности

arctg x + arctg y =  arctg x + y1 – xy  
     при  xy < 1
arctg x + arctg y =  π + arctg x + y1 – xy  
     при  x > 0,  xy > 1
arctg x + arctg y =  – π + arctg x + y1 – xy  
     при  x < 0,  xy > 1

arctg x – arctg y =  arctg x – y1 + xy  
     при  xy > – 1
arctg x – arctg y =  π + arctg x – y1 + xy  
     при  x > 0,  xy < – 1
arctg x – arctg y =  – π + arctg x – y1 + xy  
     при  x < 0,  xy < – 1

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
Arctg z = – i2 Ln ( 1 + iz1 – iz  ) , 
Arcctg z = – i2 Ln ( iz – 1iz + 1  ) . 

Выражения через гиперболические функции

Arctg iz = i Arth z
Arcctg iz = – i Arcth z
Arth iz = i Arctg z
Arcth iz = – i Arcctg z

Производные

(arctg x )^′ = 11 + x²  
(arcctg x )^′ = – 11 + x²  
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:
Пусть  y = arctg x .  Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
y^(n )  =  (– 1 )^n + 1  (n – 1 )! ⋅ Im  (x + i )ⁿ (1 + x² )ⁿ   ; 
y^(n )  =  (n – 1 )!  cosⁿ y ⋅ sin [ n( y + π2  ) ] . 
Символ Im  означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  z = arcctg x .  Тогда
z^(n )  =  (– 1 )ⁿ  (n – 1 )! ⋅ Im  (x + i )ⁿ (1 + x² )ⁿ   ; 
z^(n )  =  (n – 1 )!  sinⁿ z ⋅ sin [n( z + π  )] . 

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям:
∫ arctg x dx = ∫ arctg tg t d(tg t ) = ∫ t d(tg t ) =  t tg t – ∫ tg t dt ; 
∫ tg t dt = ∫ sin t dtcos t = – ∫ d cos tcos t = – ln  |  cos t |  =  – ln 1√ 1 + tg² t   =  12 ln (1 + tg ² t ) ; 
∫ arctg x dx = t tg t – 12 ln (1 + tg ² t ) = arctg x ⋅ x – 12 ln (1 + x² ) + C ; 
∫ arctg x dx = x arctg x – 12 ln (1 + x² ) + C

Выразим арккотангенс через арктангенс:
∫ arcctg x dx = ∫ ( π2 – arctg x  ) dx = π2 ∫ dx – ∫ arctg x dx =  π2 x – x arctg x + 12 ln (1 + x² ) + C = x( π2 – arctg x  ) + 12 ln (1 + x² ) + C =  x arcctg x + 12 ln (1 + x² ) + C . 

Разложение в степенной ряд

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение:
arctg x =  ^∞Σ_n = 1 (– 1 )^n – 1 x^2n – 1 2n – 1 =  x – x³ 3 + x⁵ 5 – x⁷ 7 + . . . ; 
arcctg x = π2 – arctg x . 

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x     (– ∞ < x < + ∞ )
ctg(arcctg x) = x    (– ∞ < x < + ∞ ) . 

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x     при  – π2 < x < π2 
arcctg(ctg x) = x     при  0 < x < π . 

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 14-07-2014   Изменено: 23-12-2018