Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Определения и методы решений

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

– это уравнение вида
y^′ + p (x )  y = q (x )  , 
где p и q – функции переменной x .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка

– это уравнение вида
y^′ + p (x )  y = 0 . 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

– это уравнение вида
y^′ + p (x )  y = q (x ) ;  q (x )  ≠ 0 . 

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   y^′ + p (x )  y = q (x )  . 
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод интегрирующего множителя;
• метод введения двух функций (Бернулли);
• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
e^{∫ p (x )  dx}  : 
(2)   y^′ e^{∫ p (x )  dx} + p (x )  y e^{∫ p (x )  dx} =  q (x )  e^{∫ p (x )  dx} 
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
( ∫ p (x )  dx  ) ^′ = p (x ) 
По правилу дифференцирования сложной функции:
( e^{∫ p (x )  dx}  ) ^′ =  e^{∫ p (x )  dx}  ( ∫ p (x )  dx  ) ^′ =  p (x )  e^{∫ p (x )  dx} 
По правилу дифференцирования произведения:
( y e^{∫ p (x )  dx}  ) ^′ =  y^′ e^{∫ p (x )  dx} + y  ( e^{∫ p (x )  dx}  ) ^′ = 
 y^′ e^{∫ p (x )  dx} + y p (x )  e^{∫ p (x )  dx} 
Подставляем в (2):
( y e^{∫ p (x )  dx}  ) ^′ = q (x )  e^{∫ p (x )  dx} 
Интегрируем:
y e^{∫ p (x )  dx} =  ∫ q (x )  e^{∫ p (x )  dx}  dx + C
Умножаем на   e^{– ∫ p (x )  dx}  .  Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
y = C e^{– ∫ p (x )  dx} +  e^{– ∫ p (x )  dx}  ∫ q (x )  e^{∫ p (x )  dx}  dx

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение
x y^′ + 3 y = x² 

Решение

Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i)   y^′ + 3x  y = x . 
Тогда
p (x )  = 3x  ; 
∫ p (x )  dx = 3 ∫ dxx =  3 ln  | x |  = ln  | x | ³  . 
Интегрирующий множитель:
e^{∫ p (x )  dx} = e^{ln  | x |  3} =  | x | ³ 
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1).
Умножим (i) на x ³ :
y^′ x³  + 3y x²  = x⁴  . 
Выделяем производную.
y^′ x³  + 3y x²  = y^′ x³  + y  ( x³  ) ^′ =  ( yx³  ) ^′ = x⁴  ; 
( yx³  ) ^′ = x⁴  . 
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
yx³  = ∫ x⁴  dx + C =  14 + 1  x^4 + 1  + C = 15  x⁵  + C . 
Делим на x ³ :
y = Cx³  + 15  x²  . 

Ответ

y = Cx³  + 15  x² 

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 22-07-2012   Изменено: 25-02-2015