Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Содержание

См. также:

Геометрическое определение синуса и косинуса

sin α = | BC | | AC | ; cos α = | AB | | AC |
| AB | = | AD | ; α = | BD | | AB |
|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A.
α - угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α): – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α): – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

sin² x ≡ (sin x )² ; sin³ x ≡ (sin x )³ ; sinⁿ x ≡ (sin x )ⁿ ;
sin^– 1 x ≡ arcsin x ;
(sin x )^– 1 ≡ 1sin x ≡ cosec x .

cos² x ≡ (cos x )² ; cos³ x ≡ (cos x )³ ; cosⁿ x ≡ (cos x )ⁿ ;
cos^– 1 x ≡ arccos x ;
(cos x )^– 1 ≡ 1cos x ≡ sec x .

Графики функций синус, y = sin x, и косинус, y = cos x

Графики синуса и косинуса смещены по оси x друг относительно друга на π / 2 :
sin x = cos ( x – π2 ); cos x = sin ( x + π2 ) .

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π .

sin (x + 2π ) = sin x; cos (x + 2π ) = cos x

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

sin (– x ) = – sin x; cos (– x ) = cos x

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

	y = sin x	y = cos x
Область определения и непрерывность	– ∞ < x < + ∞	– ∞ < x < + ∞
Область значений	–1 ≤ y ≤ 1	–1 ≤ y ≤ 1
Возрастание	– π2 + 2πn ≤ x ≤ π2 + 2πn	– π + 2πn ≤ x ≤ 2πn
Убывание	π2 + 2πn ≤ x ≤ 3π2 + 2πn	2πn ≤ x ≤ π + 2πn
Максимумы, y = 1	x = π2 + 2πn	x = 2πn
Минимумы, y = –1	x = – π2 + 2πn	x = π + 2πn
Нули, y = 0	x = πn	x = π2 + πn
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

sin² x + cos² x = 1

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

sin (x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x – y ) = sin x cos y – cos x sin y
cos (x + y ) = cos x cos y – sin x sin y
cos (x – y ) = cos x cos y + sin x sin y

sin (2x ) = 2 sin x cos x
cos (2x ) = cos² x – sin² x = 2 cos² x – 1 = 1 – 2 sin² x
cos ( π2 – x ) = sin x ; sin ( π2 – x ) = cos x
cos (x + π ) = – cos x ; sin (x + π ) = – sin x

Формулы произведения синусов и косинусов

sin x cos y = 12 [ sin (x – y ) + sin (x + y ) ]
sin x sin y = 12 [ cos (x – y ) – cos (x + y ) ]
cos x cos y = 12 [ cos (x – y ) + cos (x + y ) ]

sin x cos y = 12 sin 2x
sin² x = 12 [ 1 – cos 2x ]
cos² x = 12 [ 1 + cos 2x ]

Формулы суммы и разности

sin x + sin y = 2 sin x + y2 cos x – y2
sin x – sin y = 2 sin x – y2 cos x + y2
cos x + cos y = 2 cos x + y2 cos x – y2
cos x – cos y = 2 sin x + y2 sin y – x2

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что n – целое число.

sin x = cos ( π2 – x ) = cos ( x – π2 ) = – cos ( x + π2 ) ;
sin² x = 1 – cos² x ;
sin x = √ 1 – cos² x {2πn ≤ x ≤ π + 2πn } ;
sin x = – √ 1 – cos² x {– π + 2πn ≤ x ≤ 2πn } .

Выражение косинуса через синус

cos x = sin ( π2 – x ) = – sin ( x – π2 ) = sin ( x + π2 ) ;
cos² x = 1 – sin² x ;
cos x = √ 1 – sin² x {– π / 2 + 2πn ≤ x ≤ π / 2 + 2πn } ;
cos x = – √ 1 – sin² x {π / 2 + 2πn ≤ x ≤ 3π / 2 + 2πn } .

Выражение через тангенс

sin² x = tg² x1 + tg² x ; cos² x = 11 + tg² x .

При – π2 + 2πn < x < π2 + 2πn , имеем:
sin x = tg x√ 1 + tg² x ; cos x = 1√ 1 + tg² x .

При π2 + 2πn < x < 3π2 + 2πn :
sin x = – tg x√ 1 + tg² x ; cos x = – 1√ 1 + tg² x .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

i² = – 1
sin z = e^iz – e^– iz 2i ; cos z = e^iz + e^– iz 2

Формула Эйлера

e^iz = cos z + i sin z

Выражения через гиперболические функции

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z

Производные

(sin x )^′ = cos x ; (cos x )^′ = – sin x . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
( sin x )^(n ) = sin ( x + n π2 ) ; ( cos x )^(n ) = cos ( x + n π2 ) .

Интегралы

∫ sin x dx = – cos x + C ; ∫ cos x dx = sin x + C
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

sin x = ^∞Σ_n = 0 (– 1 )ⁿ x^2n + 1 (2n + 1 )! = x – x³ 3! + x⁵ 5! – x⁷ 7! + ... { –∞ < x < +∞ }
cos x = ^∞Σ_n = 0 (– 1 )ⁿ x²ⁿ (2n )! = 1 – x² 2! + x⁴ 4! – x⁶ 6! + ... { –∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

sec x = 1cos x ; cosec x = 1sin x

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

y = arcsin x { – 1 ≤ x ≤ 1; – π2 ≤ y ≤ π2 }
sin (arcsin x ) = x {– 1 ≤ x ≤ 1 }
arcsin (sin x ) = x { – π2 ≤ x ≤ π2 }

Арккосинус, arccos

y = arccos x { – 1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ π }
cos (arccos x ) = x {– 1 ≤ x ≤ 1 }
arccos (cos x ) = x {0 ≤ x ≤ π }

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 15-02-2014 Изменено: 10-05-2020

См. также: