Методы решения физико-математических задач

Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса

Прямоугольный треугольник


|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A.
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции y=sin(x)

График функции косинус, y = cos x

График функции y=cos(x)

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции   y = sin x   и   y = cos x   периодичны с периодом   2π.

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

  y = sin x y = cos x
Область определения – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Область значений 1 ≤ y ≤ 1 1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = –1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности






;    
;    

Формулы произведения синусов и косинусов





Формулы суммы и разности




Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что – целое число.

;
;
    ;
    .

Выражение косинуса через синус

;
;
    ;
    .

Выражение через тангенс

;     .

При   , имеем:
;     .

При   :
;     .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Таблица синусов и косинусов

Выражения через комплексные переменные


;    

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;    
;    

Производные

;     .     Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
;     .

Интегралы

;    
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

    { –∞ < x < +∞ }
    { –∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

   

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

   
   
   

Арккосинус, arccos

   
   
   

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

.     Опубликовано:   Изменено: