Решение пределов, используя ряд Тейлора
Метод решения
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x, стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0. При этом выполняем разложение до такой степени xn, которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o(xn).
Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.
Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n, до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .
Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.
Применяемые свойства о малого
Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).
Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.
;
;
,
где ;
;
;
,
где – числа Бернулли: , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Решение
Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого выполняем преобразования.
.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .
.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .
Ответ
Пример 2
Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.
Решение
Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.
Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.
Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.
Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Ответ
Пример 3
Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Решение
Это неопределенность вида 0/0. Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.
Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Ответ
Пример 4
Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.
Решение
Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0. Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x:
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t:
(П4.3) .
Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).
Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x: . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x: , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:
.
Подставляем в предел:
.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0. Значит разложения до степени не достаточно.
Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.
Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;
;
.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :
.
Подставляем в исходную функцию.
.
Находим предел.
.
Ответ
.
Пример 5
Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.
Решение
Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.
Начнем со знаменателя. Используем свойства о малого ⇑ и разложения синуса и тангенса ⇑.
;
;
.
Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .
Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;
;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем первый логарифм.
; ;
;
.
Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .
Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;
;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем с точностью до и учитываем, что .
;
.
Находим разложение числителя.
;
;
.
Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.
Ответ
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: