Окрестность точки
Определение окрестности точки
- Окрестность действительной точки
- Окрестностью действительной точки x0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
U(x0 ) = {x : – ε1 < x – x0 < ε2 , ε1 > 0, ε2 > 0 } .
Здесь ε1 и ε2 – произвольные положительные числа.
- Эпсилон окрестность точки
- Эпсилон окрестностью точки x0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x0 меньше ε :
U(x0 , ε ) = {x : | x – x0 | < ε } .
- Проколотая окрестность точки
- Проколотой окрестностью точки x0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x0 :
○U(x0 ) = U(x0 ) \ {x0 } .
Окрестности конечных точек
В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как U(x0 ) . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) U(x0 , ε1 , ε2 ) = {x : – ε1 < x – x0 < ε2 , ε1 > 0, ε2 > 0 } .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу (x0 – ε1 , x0 + ε2 ) .
Приравняв ε1 к ε2 , получим эпсилон - окрестность:
(2) U(x0 , ε ) = {x : | x – x0 | < ε } .
Эпсилон - окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу (x0 – ε, x0 + ε ) с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ - окрестность, σ - окрестность, и т.д.
В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон - окрестность точки, определяемую из (2).
Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.
- Левосторонняя окрестность действительной точки x0
- – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x0 , включая саму точку:
U(x0 – 0, ε ) = {x : 0 ≤ x0 – x < ε } ;
U(x0 – 0, ε ) = {x : x0 – ε < x ≤ x0 } .
- Правосторонняя окрестность действительной точки x0
- – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x0 , включая саму точку:
U(x0 + 0, ε ) = {x : 0 ≤ x – x0 < ε } ;
U(x0 + 0, ε ) = {x : x0 ≤ x < x0 + ε } .
Проколотые окрестности конечных точек
Проколотые окрестности точки x0 – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.
- Проколотая окрестность точки x0
- ○U(x0 , ε1 , ε2 ) = {x : x ∈ (x0 – ε1 , x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε2 )} .
- Проколотая эпсилон окрестность точки x0
- ○U(x0 , ε ) = {x : 0 < | x – x0 | < ε } ;
○U(x0 , ε ) = {x : x ∈ (x0 – ε, x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε )} .
- Проколотая левосторонняя окрестность
- ○U(x0 – 0, ε ) = {x : 0 < x0 – x < ε } ;
○U(x0 – 0, ε ) = {x : x0 – ε < x < x0 } .
- Проколотая правосторонняя окрестность
- ○U(x0 + 0, ε ) = {x : 0 < x – x0 < ε } ;
○U(x0 + 0, ε ) = {x : x0 < x < x0 + ε } .
Окрестности бесконечно удаленных точек
Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).
○U(∞, ε1 , ε2 ) = U(∞, ε1 , ε2 ) = { x : x ∈ ( – ∞, – 1ε1 ) ∪ ( 1ε2 , + ∞ ) } .
○U(∞, ε ) = U(∞, ε ) = { x : | x | > 1ε } ;
○U(+ ∞, ε ) = U(+ ∞, ε ) = { x : x > 1ε } ;
○U(– ∞, ε ) = U(– ∞, ε ) = { x : x < – 1ε } .
Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
U(∞, M ) = { x : | x | > M } .
Но вместо M мы используем 1ε , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.
Свойство окрестности
Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.
И пусть ε ′1 ≤ ε ′′1 , ε ′2 ≤ ε ′′2 .
Тогда
U(x0 , ε ′1 , ε ′2 ) ⊂ U(x0 , ε ′′1 , ε ′′2 ) ;
○U(x0 , ε ′1 , ε ′2 ) ⊂ ○U(x0 , ε ′′1 , ε ′′2 ) ;
U(x0 , ε ′1 ) ⊂ U(x0 , ε ′′1 ) ;
U(x0 – 0, ε ′1 ) ⊂ U(x0 – 0, ε ′′1 ) ;
U(x0 + 0, ε ′1 ) ⊂ U(x0 + 0, ε ′′1 ) ;
○U(x0 , ε ′1 ) ⊂ ○U(x0 , ε ′′1 ) ;
○U(x0 – 0, ε ′1 ) ⊂ ○U(x0 – 0, ε ′′1 ) ;
○U(x0 + 0, ε ′1 ) ⊂ ○U(x0 + 0, ε ′′1 ) .
Также справедливы и обратные утверждения.
Эквивалентность определений предела функции по Коши
Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность U(x0 , ε1 , ε2 ) , так и окрестность с равноудаленными концами U(x0 , ε ) .
Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используютсяпроизвольные окрестности,
эквивалентны определениям, в которых используются
окрестности с равноудаленными концами.
Доказательство
Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции f (x ) в точке x0 (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел ε1 , ε2 > 0 существуют такие числа δ1 , δ2 > 0 , зависящие от ε1 и ε2 , что для всех x ∈ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) , f (x ) принадлежит соответствующей окрестности точки a :
f (x ) ∈ U(a, ε1 , ε2 ) .
Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции f (x ) в точке x0 , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δ > 0 , зависящее от ε , что для всех x ∈ ○U(x0 , δ ) :
f (x ) ∈ U(a, ε ) .
Доказательство 1 ⇒ 2
Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.
Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции δ1 (ε1 , ε2 ) и δ2 (ε1 , ε2 ) , так что для любых положительных чисел ε1 , ε2 > 0 выполняется следующее:
f (x ) ∈ U(a, ε1 , ε2 ) при x ∈ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) , где δ1 = δ1 (ε1 , ε2 ), δ2 = δ2 (ε1 , ε2 ) .
Поскольку числа ε1 и ε2 произвольные, то приравняем их:
ε = ε1 = ε2 .
Тогда имеются такие функции δ1 (ε, ε ) и δ2 (ε, ε ) , так что для любого ε > 0 выполняется следующее:
f (x ) ∈ U(a, ε, ε ) при x ∈ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) , где δ1 = δ1 (ε, ε ), δ2 = δ2 (ε, ε ) .
Заметим, что U(a, ε, ε ) ≡ U(a, ε ) .
Пусть δ есть наименьшее из положительных чисел δ1 и δ2 . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
○U(x0 , δ ) ≡ ○U(x0 , δ, δ ) ⊂ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) .
Если x ∈ ○U(x0 , δ ) , то x ∈ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) .
То есть мы нашли такую функцию δ(ε ) = min (δ1 (ε, ε ), δ2 (ε, ε )) , так что для любого ε > 0 выполняется следующее:
f (x ) ∈ U(a, ε ) при x ∈ ○U(x0 , δ ) , где δ = δ(ε ) .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.
Доказательство 2 ⇒ 1
Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.
Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа ε1 и ε2 . И пусть ε – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция δ(ε ) , так что для любого положительного числа ε > 0 и для всех x ∈ ○U(x0 , δ(ε )) , следует, что
f (x ) ∈ U(a, ε ) .
Но согласно свойству окрестностей ⇑, U(a, ε ) ⊂ U(a, ε1 , ε2 ) . Поэтому из того, что f (x ) ∈ U(a, ε ) следует, что
f (x ) ∈ U(a, ε1 , ε2 ) .
Тогда для любых положительных чисел ε1 и ε2 , мы нашли два числа δ1 = δ2 = δ(min (ε1 , ε2 )) , так что для всех x ∈ ○U(x0 , δ1 , δ2 ) :
f (x ) ∈ U(a, ε1 , ε2 ) .
Это означает, что число a является пределом и по первому определению.
Теорема доказана.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: