Методы решения физико-математических задач

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Применение эквивалентных функций при решении пределов
Изложен метод, позволяющий упростить вычисление пределов, применяя эквивалентные функции. Этот метод применим при вычислении пределов дробей с множителями в числителе или знаменателе. Дана таблица эквивалентных функций при x→0. Приводятся подробно разобранные примеры применения этого метода.
Содержание
См. также:
()(\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits})() ()(\newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits})() ()(\newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits})() ()(\newcommand{\th}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits})() ()(\newcommand{\cth}{\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arsh}{\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits})() ()(\newcommand{\arth}{\mathop{\mathrm{arth}}\nolimits})()

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Эквивалентные функции
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при x → x0:
 f (x) ~ g(x)  при  x → x0,
если на некоторой проколотой окрестности  ○U(x0) точки x0,
 f (x) = λ(x)g(x) при x ∈  ○U(x0), причем
limx → x0 λ(x) = 1.

Если при x → x0,   f (x) ~ g(x), то  f (x) = g(x) + o(g(x));
если  f (x) = g(x) + o(g(x)), то  f (x) ~ g(x).
При этом функцию g(x) называют главной частью  f (x) при x → x0. См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при x → x0,    f (x) ~  f 1 (x)  и  g(x) ~ g1 (x)  и существует предел
limx → x0  f 1 (x)g1 (x), то существует и предел
limx → x0  f (x)g(x) = limx → x0  f 1 (x)g1 (x).
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций:  f (x) ⋅ p(x)⋅ ⋅ ⋅r(x)g(x) ⋅ q(x)⋅ ⋅ ⋅s(x). Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
limx → x0  f (x) ⋅ p(x)⋅ ⋅ ⋅r(x)g(x) ⋅ q(x)⋅ ⋅ ⋅s(x) = limx → x0  f 1 (x) ⋅ p1 (x)⋅ ⋅ ⋅r1 (x)g1 (x) ⋅ q1 (x)⋅ ⋅ ⋅s1 (x),
где  f (x) ~  f 1 (x),  p(x) ~ p1 (x), ... ,   r(x) ~ r1 (x),  g(x) ~ g1 (x),   q(x) ~ q1 (x), ... ,  s(x) ~ s1 (x). Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при t → 0. Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией t = t(x) при x → x0: limx → x0 t(x) = 0; a > 0,  a ≠ 0.

Эквивалентность при t → 0 Равенство при t → 0
sin t ~ t sin t = t + o(t)
arcsin t ~ t arcsin t = t + o(t)
tg t ~ t tg t = t + o(t)
arctg t ~ t arctg t = t + o(t)
1 – cos t ~ t 22 1 – cos t = t 22 + o(t 2)
e t – 1 ~ t e t – 1 = t + o(t)
a t – 1 ~ t ln a a t – 1 = t ln a + o(t)
ln(1 + t) ~ t ln(1 + t) = t + o(t)
loga (1 + t) ~  tln a loga (1 + t) =  tln a  + o(t)
(1 + t) β – 1 ~ βt (1 + t) β – 1 = βt + o(t)
sh t ~ t sh t = t + o(t)
arsh t ~ t arsh t = t + o(t)
th t ~ t th t = t + o(t)
arth t ~ t arth t = t + o(t)
ch t – 1 ~ t 22 ch t – 1 = t 22 + o(t 2)

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
L = limx → 0 sin x – xx 3.
При x → 0,  sin x ~ x. Но если заменить в числителе sin x на x, то получим ошибку:
L = limx → 0 sin x – xx 3 = limx → 0 x – xx 3 = limx → 0 0x 3 = 0.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, sin x = x + o(x):
L = limx → 0 sin x – xx 3 = limx → 0 x + o(x) – xx 3 = limx → 0 o(x)x 3 = limx → 0 o(x)xx 2.
Поскольку limx → 0 o(x)x = 0  и  limx → 0 x 2 = 0, то мы снова получили неопределенность 0/0. Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Можно решить этот пример разложением в ряд Маклорена:
L = limx → 0 sin x – xx 3 = limx → 0 x – x 3 / 6 + o(x 4) – xx 3 = limx → 0 –x 3 / 6 + o(x 4)x 3 =
 limx → 0( – 16 + x ⋅ o(x 4)x 4 ) = – 16 + 0 ⋅ 0 = – 16.

Также можно применить правило Лопиталя:
L = limx → 0 sin x – xx 3 = limx → 0 (sin x – x) ′(x 3) ′ = limx → 0 cos x – 13x 2 = limx → 0 (cos x – 1) ′(3x 2) ′ =
 limx → 0  – sin x6x = – 16 limx → 0 sin xx = – 16.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
limx → 0 sin x sin 3x sin 5xsin x 3 ⇓,   limx → 0 sin 5x ln 2 (1 + 2x)(1 – cos x) tg 4x ⇓,   limx → 0(1 – 2x 2) ctg 2 x ⇓,   limx → 0(  xln 2 (1 + x) – 1x ) ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел:
L = limx → 0 sin x sin 3x sin 5xsin x 3.

Решение

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
sin x ~ x,  sin 3x ~ 3x,   sin 5x ~ 5x,  sin x 3 ~ x 3. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
L = limx → 0 sin x sin 3x sin 5xsin x 3 = limx → 0 x ⋅ 3x ⋅ 5xx 3 = limx → 0 15x 3x 3 = 15.

Ответ

L = 15. 

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел:
L = limx → 0 sin 5x ln 2 (1 + 2x)(1 – cos x) tg 4x.

Решение

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
sin 5x ~ 5x,  ln(1 + 2x) ~ 2x,   1 – cos x ~ x 2 / 2,  tg 4x ~ 4x.
Преобразуем квадрат логарифма:
ln 2 (1 + 2x) = (ln(1 + 2x)) 2 ~ (2x) 2 = 4x 2.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
L = limx → 0 sin 5x ln 2 (1 + 2x)(1 – cos x) tg 4x = limx → 0 5x ⋅ 4x 2x 22 ⋅ 4x = limx → 0 20x 32x 3 = 10.

Ответ

L = 10. 

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел.
L = limx → 0(1 – 2x 2) ctg 2 x.

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
(1 – 2x 2) ctg 2 x = ( e ln(1 – 2x 2) ) ctg 2 x = e ctg 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2).
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0.

Вычисляем предел:
L2 = limx → 0( ctg 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2) ) = limx → 0 cos 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2)sin 2 x.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
ln(1 – 2x 2) ~ –2x 2;
sin 2 x = (sin x) 2 ~ x 2;
L2 = limx → 0 cos 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2)sin 2 x = limx → 0 cos 2 x ⋅ (–2x 2)x 2 = –2 limx → 0 cos 2 x =
 –2 ⋅ cos 2 (0) = –2.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
L = limx → 0 e ctg 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2) = e limx → 0( ctg 2 x ⋅ ln(1 – 2x 2) ) = e –2.

Ответ

L = 1 / e 2. 

Пример 4

Все примеры ⇑ Вычислить предел.
L = limx → 0(  xln 2 (1 + x) – 1x ).

Решение

При x → 0,  1x → ∞. Выясним, к чему стремится xln 2 (1 + x). Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: ln(1 + x) ~ x,   ln 2 (1 + x) = (ln(1 + x)) 2 ~ x 2. Тогда
limx → 0 xln 2 (1 + x) = limx → 0 xx 2 = limx → 0 1x = ∞. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞.

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0. Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
xln 2 (1 + x) – 1x = x 2 – ln 2 (1 + x)x ln 2 (1 + x) = (x – ln(1 + x))(x + ln(1 + x))x ln 2 (1 + x).
Здесь мы также воспользовались формулой a 2 – b 2 = (a – b)(a + b). После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
L = limx → 0 (x – ln(1 + x))(x + ln(1 + x))x ln 2 (1 + x).

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
L = limx → 0 (x – ln(1 + x))(x + ln(1 + x))x 3.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
x – ln(1 + x) ~ Ax a,   x + ln(1 + x) ~ Bx b.
Тогда A = x – ln(1 + x)x a. Считаем, что a > 0. Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
A = limx → 0 (x – ln(1 + x)) ′(x a) ′ = limx → 0 1 – 11 + xax a – 1 = limx → 0 ( 1 – 11 + x ) ′( ax a – 1 ) ′ = limx → 0 1(1 + x) 2a(a – 1)x a – 2.
Если положить a = 2, то A = limx → 0 1(1 + x) 22 ⋅ 1 = 12. Тогда
x – ln(1 + x) ~ x 22.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при x → 0:
x – ln(1 + x) = x – x + x 22 + o(x 2) = x 22 + o(x 2).
Отсюда x – ln(1 + x) ~ x 22.

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при x → 0:
x + ln(1 + x) = x + x + o(x) = 2x + o(x).
Отсюда x + ln(1 + x) ~ 2x.

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
L = limx → 0 (x – ln(1 + x))(x + ln(1 + x))x 3  =  limx → 0 x 22 ⋅ 2xx 3 = 1.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Ответ

L = 1. 

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

См. также:
▲
Меню