Примеры решений задач с помощью второго замечательного предела
Применяемые формулы, свойства и теоремы
Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется второй замечательный предел и его следствия.
Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.
- Второй замечательный предел и его следствия:
, , , .
Стоит отметить еще одну формулу (см. пример ниже ⇓):
, где α – действительное число. - Свойства и формулы показательной функции, формулы логарифмов, свойства экспоненты и натурального логарифма.
- Арифметические свойства предела функции.
- Теоремы о пределе и непрерывности сложной функции.
Здесь мы будем иметь дело со степенно-показательной функцией, у которой основание и показатель являются функциями от некоторой переменной: . Ее удобно представить как экспоненту: . В этой связи полезна следующая лемма.
Лемма о пределе степенно-показательной функции
Пусть – функции переменной x, имеющие конечные пределы:
. Здесь .
Тогда
.
Доказательство ⇓
В случае бесконечных пределов, или когда , мы проводим исследование произведения , применяя свойства пределов бесконечно больших и малых функций.
В случае и , мы имеем неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия используется второй замечательный предел.
Раскрытие неопределенности 1 в степени бесконечность
Пусть u и v есть функции от переменной x: . И пусть при . Тогда выражение является неопределенным при . Для раскрытия этой неопределенности, мы вводим переменную t из соотношения
.
Тогда . При .
;
.
Таким образом задача сводится к вычислению предела .
Доказательство леммы о пределе степенно-показательной функции
Представим степенно-показательную функцию в виде показательной функции:
.
Поскольку логарифмическая функция непрерывна на своей области определения, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции,
.
По теореме о пределе произведения двух функций,
.
Поскольку показательная функция непрерывна на всей числовой оси, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции,
.
Лемма доказана.
Примеры решений
Все примеры Далее мы приводим подробные решения с объяснениями следующих пределов:
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Найти предел:
.
Решение
При , . Это неопределенность вида один в степени бесконечность.
Выполняем преобразования.
;
.
Сделаем замену переменной . При . Применим второй замечательный предел:
.
Находим предел дроби, разделив числитель и знаменатель на x:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑
.
Ответ
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Найдите предел:
.
Решение
При , . при . Это неопределенность вида один в степени бесконечность. Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела.
Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.
Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.
Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Ответ
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.
Решение
При . Элементы последовательности равны единице. Поэтому . Рассмотрим случай .
При . Это неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия применим второй замечательный предел.
Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.
Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.
Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
.
Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Эта формула справедлива и при .
Ответ
.
Пример 4
Все примеры ⇑ Найти предел:
.
Решение
Пусть . Рассмотрим функцию в проколотой окрестности точки , на которой . Для определения предела, функция должна быть определена на любой проколотой окрестности этой точки. Считаем, что . Тогда . При . Поэтому .
Теперь рассмотрим предел при .
При . У нас неопределенность вида 0/0.
Для ее раскрытия приведем степенно-показательную функцию к основанию e учитывая, что :
.
Согласно следствию второго замечательного предела:
.
В последнем множителе сделаем замену переменной:
.
При . Кроме этого, при . Тогда
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Это же значение является правильным и при .
Ответ
.
Пример 5
Все примеры ⇑ Найдите предел функции:
.
Решение с помощью второго замечательного предела и его следствий
При . Это неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим следствия второго замечательного предела.
Преобразуем числитель дроби:
.
Преобразуем знаменатель:
.
Разделим числитель и знаменатель на x:
.
Чтобы не загромождать формулы, мы ввели обозначение .
Применяя первый замечательный предел и следствия второго, имеем:
; ; ; ; .
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Решение с помощью эквивалентных функций
Мы можем упростить решение, если применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного. Считаем, что предел существует. Тогда мы можем заменить знаменатель эквивалентной функцией при . Из таблицы эквивалентных функций находим:
.
Получаем более простой предел:
.
Далее делаем преобразования аналогично предыдущему:
.
Поскольку при , то применяем следствие второго замечательного предела:
;
.
В дробях и заменим функции в числителе эквивалентными:
;
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: