Решение пределов с дробями из многочленов
Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения таких пределов изложены в разделе Раскрытие неопределенностей с дробями.
Методы решения пределов с дробями из многочленов
1. Рассмотрим предел функции, которая является отношением многочленов:
, где
(1) ,
и – многочлены степеней m и n, соответственно:
;
.
1.1. Пусть есть бесконечность:
.
Тогда возникает неопределенность вида . Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на xs, где s – наибольшее из чисел m и n. Примеры ⇓
1.2. Пусть есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив :
.
1.2.1. Если , то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при . Значение предела равно значению функции в точке :
. Пример ⇓
1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: ,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
. Пример ⇓
1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на . Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x. Примеры ⇓
2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: . Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели. Пример ⇓
Примеры решений
Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
Пределы при x стремящемся к бесконечности
Пример 1
Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
.
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
На основании свойств степенной функции, при . Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.
Ответ
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
.
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.
Ответ
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Найти предел:
.
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
;
.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.
Мы получили правильную величину предела: . Но бесконечно удаленная точка может включать в себя два частных случая: и . Как , так и являются . Если и, для достаточно больших |x|, , то . Если, для достаточно больших |x|, то .
Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
;
.
Поскольку , то . Тогда
.
Ответ
.
Пределы в конечной точке
Пример 4. Непрерывные функции
Все примеры ⇑ Найти пределы функции
a) при ; б) при .
Решение
а) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция непрерывна в точке . Поэтому предел функции равен ее значению при :
.
б) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при равен значению при :
.
Ответ
а) ; б) .
Пример 5. Бесконечно большие функции
Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
.
Найти односторонние пределы:
а) ; б) .
Решение
Найдем значение знаменателя дроби в точке :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при . Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при равен бесконечности:
.
Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель . То есть представим знаменатель в следующем виде:
.
Раскрываем скобки:
.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
;
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не обращается в нуль. При , имеем:
.
Тогда
;
при .
а) Подставим :
.
б) Подставим :
.
Ответ
а) , б) .
Примечание.
Если бы знаменатель дроби не равнялся нулю при , то функция была бы непрерывной в точке . В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
.
Неопределенность вида 0/0
Пример 6
Все примеры ⇑ Найти предел
.
Решение
Найдем значение знаменателя дроби при :
.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке .
Найдем значение числителя при :
.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .
Ищем разложение знаменателя в виде:
.
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x:
.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
.
На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
.
Находим предел:
.
Ответ
.
Пример 7
Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
.
Решение
Найдем значение знаменателя при :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке .
Найдем значение числителя дроби при :
.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .
Вычисления делаем в уме:
,
.
Делим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем:
.
Снова находим значения числителя и знаменателя при : ;
.
Опять неопределенность 0/0. Снова выделяем множитель :
;
.
При имеем:
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не равен нулю при . Поскольку функции и отличаются только в одной точке ( определена и непрерывна при , а не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
.
Ответ
.
Пример 8. Неопределенность вида ∞±∞
Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
.
Решение
При имеем:
;
;
;
.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при , каждая из дробей стремится к бесконечности:
при .
То есть мы имеем неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность".
Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель .
;
;
;
.
Таким образом, задача свелась к вычислению предела от дроби многочленов:
.
Применяем описанные выше методы.
Находим значения числителя и знаменателя при :
;
.
Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, то это неопределенность вида 0/0. В знаменателе множитель уже выделен. Выделим этот множитель в числителе:
.
Находим предел:
.
Ответ
.Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: