Решение пределов с дробями из многочленов

Изложены приемы и методы решения пределов дробей с отношениями многочленов. Рассмотрены неопределенности вида ∞ / ∞, 0 / 0 и ∞ ± ∞. Разобраны случаи, когда переменная стремится к бесконечности и к конечному числу. Для каждого варианта приводятся примеры с подробными объяснениями и ссылками на применяемые теоремы и свойства.

Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения таких пределов изложены в разделе Раскрытие неопределенностей с дробями.

Методы решения пределов с дробями из многочленов

1. Рассмотрим предел функции, которая является отношением многочленов:
lim_x → x0  f (x) = lim_x → x0 P_m (x)Q_n (x), где
(1)    f (x) = P_m (x)Q_n (x),
P_m и Q_n – многочлены степеней m и n, соответственно:
P_m (x) = p_m x^m + p_m – 1 x^m – 1 + ⋅ ⋅ ⋅ +p₁ x + p₀;
Q_n (x) = q_n xⁿ + q_n – 1 x^n – 1 + ⋅ ⋅ ⋅ +q₁ x + q₀.

1.1. Пусть x₀ есть бесконечность:
lim_{x → ∞}  f (x) = lim_{x → ∞} P_m (x)Q_n (x).
Тогда возникает неопределенность вида ∞ / ∞. Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x^s, где s – наибольшее из чисел m и n.   Примеры ⇓

1.2. Пусть x₀ есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив x = x₀:
Q_n (x₀) = q_n xⁿ₀ + q_n – 1 x^n – 1₀ + ⋅ ⋅ ⋅ +q₁ x₀ + q₀.
1.2.1. Если Q_n (x₀) ≠ 0, то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при x = x₀. Значение предела равно значению функции в точке x₀:
lim_x → x0  f (x) =  f (x₀) = P_m (x₀)Q_n (x₀).   Пример ⇓

1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: Q_n (x₀) = 0,  P_n (x₀) ≠ 0,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
lim_x → x0  f (x) = ∞.   Пример ⇓

1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
Q_n (x₀) = 0,  P_n (x₀) = 0.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на (x – x₀). Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.   Примеры ⇓

2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: ∞ ± ∞. Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели.   Пример ⇓

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
lim_{x → ∞} 2x³ + x² + 5x³ + 5x + 1 ⇓   lim_{x → ∞} 4 + 2x + 3x³1 + x² – 2x³ – 5x⁴ ⇓   lim_{x → ∞} 2x⁴ + x³ – 2x² + 3x² – x + 8 ⇓   lim_x → 2 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6 ⇓   lim_x → 1 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6 ⇓   lim_{x → 2 – 0} x² – 2x – 2x³ + 4x² – 12x ⇓   lim_{x → 2 + 0} x² – 2x – 2x³ + 4x² – 12x ⇓   lim_{x → –2} x² + 3x + 2x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6 ⇓   lim_x → 3 x³ – 5x² + 3x + 9x³ – x² – 21x + 45 ⇓   lim_x → 2[  2x + 4x² – 2x – x² + 2x + 12x³ – 2x² + x – 2 ] ⇓

Пределы при x стремящемся к бесконечности

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
L = lim_{x → ∞} 2x³ + x² + 5x³ + 5x + 1.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x³. При x ≠ 0 имеем:
2x³ + x² + 5x³ + 5x + 1 = 2x³ + x² + 5x³x³ + 5x + 1x³ = 2 + 1x + 5x³1 + 5x² + 1x³.
На основании свойств степенной функции, lim_{x → ∞} 1x^p = 0  при  p > 0. Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
L = lim_{x → ∞} 2 + 1x + 5x³1 + 5x² + 1x³ = 2 + 0 + 01 + 0 + 0 = 2.

Ответ

L = 2.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
L = lim_{x → ∞} 4 + 2x + 3x³1 + x² – 2x³ – 5x⁴.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x⁴. При x ≠ 0 имеем:
4 + 2x + 3x³1 + x² – 2x³ – 5x⁴ = 4 + 2x + 3x³x⁴1 + x² – 2x³ – 5x⁴x⁴ = 4x⁴ + 2x³ + 3x1x⁴ + 1x² – 2x – 5.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
L = lim_{x → ∞} 4x⁴ + 2x³ + 3x1x⁴ + 1x² – 2x – 5 = 0 + 0 + 00 + 0 – 0 – 5 = 0–5 = 0.

Ответ

L = 0.

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел:
L = lim_{x → ∞} 2x⁴ + x³ – 2x² + 3x² – x + 8.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x⁴. При x ≠ 0 имеем:
 f (x) = 2x⁴ + x³ – 2x² + 3x² – x + 8 = 2x⁴ + x³ – 2x² + 3x⁴x² – x + 8x⁴ = 2 + 1x – 2x² + 3x⁴1x² – 1x³ + 8x⁴.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
lim_{x → ∞}( 2 + 1x – 2x² + 3x⁴ ) = 2 + 0 – 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 = 2;
lim_{x → ∞}(  1x² – 1x³ + 8x⁴ ) = 0 – 0 + 8 ⋅ 0 = 0.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
L = lim_{x → ∞} 2 + 1x – 2x² + 3x⁴1x² – 1x³ + 8x⁴ = 20 = ∞.

Мы получили правильную величину предела: L = ∞. Но бесконечно удаленная точка L = ∞может включать в себя два частных случая: +∞ и –∞. Как +∞, так и –∞ являются ∞. Если lim_{x → ∞}  f (x) = ∞ и, для достаточно больших |x|,  f (x) > 0, то lim_{x → ∞}  f (x) = +∞. Если, для достаточно больших |x|,  f (x) < 0 то lim_{x → ∞}  f (x) = –∞.

Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
1x² – 1x³ + 8x⁴ = 1x² ( 1 – 1x + 8x² );
2 + 1x – 2x² + 3x⁴1x² – 1x³ + 8x⁴ = x² ⋅ 2 + 1x – 2x² + 3x⁴1 – 1x + 8x².
Поскольку x² ≥ 0, то lim_{x → ∞} x² = +∞. Тогда
L = lim_{x → ∞}[ x² ⋅ 2 + 1x – 2x² + 3x⁴1 – 1x + 8x² ] = lim_{x → ∞} x² ⋅ lim_{x → ∞} 2 + 1x – 2x² + 3x⁴1 – 1x + 8x² =
 +∞ ⋅ 2 + 0 – 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 01 – 0 + 8 ⋅ 0 = +∞ ⋅ 2 = +∞.

Ответ

L = +∞.

Пределы в конечной точке

Пример 4. Непрерывные функции

Все примеры ⇑ Найти пределы функции
 f (x) = x³ – 2x + 1x³ – x² + 6
a) при x → 2;   б) при x → 1.

Решение

а) Найдем значение знаменателя в точке x = 2:
(x³ – x² + 6)|_x = 2 = 2³ – 2² + 6 = 8 – 4 + 6 = 10.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция  f (x) непрерывна в точке x = 2. Поэтому предел функции равен ее значению при x = 2:
lim_x → 2 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6 = 2³ – 2 ⋅ 2 + 12³ – 2² + 6 = 510 = 12.

б) Найдем значение знаменателя в точке x = 1:
(x³ – x² + 6)|_x = 1 = 1³ – 1² + 6 = 1 – 1 + 6 = 6.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при x → 1 равен значению при x = 1:
lim_x → 2 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6 = 1³ – 1 ⋅ 2 + 11³ – 1² + 6 = 06 = 0.

Ответ

а) lim_x → 2  f (x) = 1 / 2;   б) lim_x → 1  f (x) = 0.

Пример 5. Бесконечно большие функции

Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
 f (x) = x² – 2x – 2x³ + 4x² – 12x.
Найти односторонние пределы:
а) lim_{x → 2 – 0}  f (x);   б) lim_{x → 2 + 0}  f (x).

Решение

Найдем значение знаменателя дроби в точке x = 2:
(x³ + 4x² – 12x)|_x = 2 = 2³ + 4 ⋅ 2² – 12 ⋅ 2 = 8 + 16 – 24 = 0.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при x = 2. Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
(x² – 2x – 2)|_x = 2 = 2² – 2 ⋅ 2 – 2 = –2.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при x → 2 равен бесконечности:
lim_x → 2  f (x) = ∞.

Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель (x – 2). То есть представим знаменатель в следующем виде:
x³ + 4x² – 12x = (x – 2)(ax² + bx + c).
Раскрываем скобки:
x³ + 4x² – 12x = (x – 2)(ax² + bx + c) = ax³ – 2ax² + bx² – 2bx + cx – 2c =
 ax³ + (b – 2a)x² + (c – 2b)x – 2c.
Сравнивая левую и правую части, находим:
a = 1,  b – 2a = 4,   c – 2b = –12,  –2c = 0.
Отсюда a = 1,  b = 6,  c = 0,
x³ + 4x² – 12x = (x – 2)(x² + 6x);
 f (x) = 1x – 2 ⋅ x² – 2x – 2x² + 6x.

Функция g(x) = x² – 2x – 2x² + 6x непрерывна в точке x = 2, поскольку знаменатель дроби не обращается в нуль. При x → 2, имеем:
lim_x → 2 g(x) = g(2) = 2² – 2 ⋅ 2 – 22² + 6 ⋅ 2 = –216 = – 18.
Тогда
 f (x) = 1x – 2 ⋅ g(x) → 1x – 2 ⋅ g(2);
 f (x) → – 18(x – 2)  при  x → 2.
а) Подставим x = 2 – 0:
 f (2 – 0) = – 18 ⋅ (2 – 0 – 2) = – 18 ⋅ (–0) = – 1–0 =  – (–∞) = +∞.
б) Подставим x = 2 + 0:
 f (2 + 0) = – 18 ⋅ (2 + 0 – 2) = – 18 ⋅ (+0) = – 1+0 =  – (+∞) = –∞.

Ответ

а) lim_{x → 2 – 0}  f (x) = +∞,   б) lim_{x → 2 + 0}  f (x) = –∞.

Примечание.
Если бы знаменатель дроби  f (x) не равнялся нулю при x = 2, то функция была бы непрерывной в точке x = 2. В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
lim_{x → 2 – 0}  f (x) = lim_{x → 2 + 0}  f (x) = lim_x → 2  f (x) =  f (2).

Неопределенность вида 0/0

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел
L = lim_{x → –2} x² + 3x + 2x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6.

Решение

Найдем значение знаменателя дроби при x = –2:
(x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6)|_x = –2 = (–2)⁴ + 5 ⋅ (–2)³ + 5 ⋅ (–2)² – 5 ⋅ (–2) – 6 =
 16 – 40 + 20 + 10 – 6 = 0.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке x = –2.

Найдем значение числителя при x = –2:
(x² + 3x + 2)|_x = –2 = (–2)² + 3 ⋅ (–2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель (x – (–2)) = (x + 2).

Ищем разложение знаменателя в виде:
x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6 = (x + 2)(ax³ + bx² + cx + d).
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x:
x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6 = ax⁴ + 2ax³ + bx³ + 2bx² + cx² + 2cx + dx + 2d =
 ax⁴ + (2a + b)x³ + (2b + c)x² + (2c + d)x + 2d.
Сравнивая левую и правую части, находим:
a = 1,  2a + b = 5,  2b + c = 5,   2c + d = –5,  2d = –6.
Отсюда a = 1,  b = 3.  c = –1,  d = –3,
x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6 = (x + 2)(x³ + 3x² – x – 3).

На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1).

Находим предел:
L = lim_{x → –2} x² + 3x + 2x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6 = lim_{x → –2} (x + 2)(x + 1)(x + 2)(x³ + 3x² – x – 3) =
 lim_{x → –2} x + 1x³ + 3x² – x – 3 = –2 + 1(–2)³ + 3 ⋅ (–2)² – (–2) – 3 = –1–8 + 12 + 2 – 3 = – 13.

Ответ

L = –1 / 3.

Пример 7

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
L = lim_x → 3 x³ – 5x² + 3x + 9x³ – x² – 21x + 45.

Решение

Найдем значение знаменателя при x = 3:
(x³ – x² – 21x + 45)|_x = 3 = 3³ – 3² – 21 ⋅ 3 + 45 = 27 – 9 – 63 + 45 = 0.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке x = 3.

Найдем значение числителя дроби при x = 3:
(x³ – 5x² + 3x + 9)|_x = 3 = 3³ – 5 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3 + 9 = 27 – 45 + 9 + 9 = 0.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель (x – 3).

Вычисления делаем в уме:
x³ – 5x² + 3x + 9 = (x – 3)(x² – 2x – 3),
x³ – x² – 21x + 45 = (x – 3)(x² + 2x – 15).
Делим числитель и знаменатель на (x – 3). Тогда при x ≠ 3 имеем:
 f (x) = x³ – 5x² + 3x + 9x³ – x² – 21x + 45 = (x – 3)(x² – 2x – 3)(x – 3)(x² + 2x – 15) = x² – 2x – 3x² + 2x – 15.

Снова находим значения числителя и знаменателя при x = 3: (x² – 2x – 3)|_x = 3 = 3² – 2 ⋅ 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0;
(x² + 2x – 15)|_x = 3 = 3² + 2 ⋅ 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0.
Опять неопределенность 0/0. Снова выделяем множитель (x – 3):
x² – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1);
x² + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5).

При x ≠ 3 имеем:
 f (x) = x² – 2x – 3x² + 2x – 15 = (x – 3)(x + 1)(x – 3)(x + 5) = x + 1x + 5.
Функция g(x) = x + 1x + 5 непрерывна в точке x = 3, поскольку знаменатель дроби не равен нулю при x = 3. Поскольку функции  f (x) и g(x) отличаются только в одной точке (g(x) определена и непрерывна при x = 3, а  f (x) не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
L = lim_x → 3  f (x) = lim_x → 3 g(x) = lim_x → 3 x + 1x + 5 = 3 + 13 + 5 = 12.

Ответ

L = 1 / 2.

Пример 8. Неопределенность вида ∞±∞

Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
lim_x → 2[  2x + 4x² – 2x – x² + 2x + 12x³ – 2x² + x – 2 ].

Решение

При x = 2 имеем:
(2x + 4)|_x = 2 = 2 ⋅ 2 + 4 = 8;
(x² – 2x)|_x = 2 = 2² – 2 ⋅ 2 = 0;
(x² + 2x + 12)|_x = 2 = 2² + 2 ⋅ 2 + 12 = 20;
(x³ – 2x² + x – 2)|_x = 2 = 2³ – 2 ⋅ 2² + 2 – 2 = 8 – 8 + 2 – 2 = 0.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при x → 2, каждая из дробей стремится к бесконечности:
2x + 4x² – 2x → ∞,   x² + 2x + 12x³ – 2x² + x – 2 → ∞  при  x → 2.
То есть мы имеем неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность".

Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель (x – 2).
x² – 2x = (x – 2)x;
x³ – 2x² + x – 2 = (x – 2)(x² + 1);
 f (x) = 2x + 4x² – 2x – x² + 2x + 12x³ – 2x² + x – 2 = 2x + 4(x – 2)x – x² + 2x + 12(x – 2)(x² + 1) =
 (2x + 4)(x² + 1)(x – 2)x(x² + 1) – (x² + 2x + 12)xx(x – 2)(x² + 1) = 2x³ + 4x² + 2x + 4x(x – 2)(x² + 1) – x³ + 2x² + 12xx(x – 2)(x² + 1) =
 x³ + 2x² – 10x + 4x(x – 2)(x² + 1);
 f (x) = x³ + 2x² – 10x + 4x(x – 2)(x² + 1).

Таким образом, задача свелась к вычислению предела от дроби многочленов:
L = lim_x → 2  f (x) = lim_x → 2 x³ + 2x² – 10x + 4x(x – 2)(x² + 1).
Применяем описанные выше методы.

Находим значения числителя и знаменателя при x = 2:
(x³ + 2x² – 10x + 4)|_x = 2 = 2³ + 2 ⋅ 2² – 10 ⋅ 2 + 4 = 8 + 8 – 20 + 4 = 0;
x(x – 2)(x² + 1)|_x = 2 = 2(2 – 2)(2² + 1) = 2 ⋅ 0 ⋅ 5 = 0.
Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, то это неопределенность вида 0/0. В знаменателе множитель (x – 2) уже выделен. Выделим этот множитель в числителе:
x³ + 2x² – 10x + 4 = (x – 2)(x² + 4x – 2).
Находим предел:
L = lim_x → 2  f (x) = lim_x → 2 (x – 2)(x² + 4x – 2)x(x – 2)(x² + 1) = lim_x → 2 x² + 4x – 2x(x² + 1) =
 2² + 4 ⋅ 2 – 22(2² + 1) = 1010 = 1.

Ответ

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 23-01-2019