Методы решения физико-математических задач

Решение пределов с корнями

Метод решения пределов с корнями
Изложены методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей от функций с корнями. Рассмотрены следующие приемы: применение постановки; применение формул разности квадратов (и других степеней) для линеаризации бесконечно малой части; деление числителя и знаменателя дроби на степенную функцию. Приводятся примеры с подробными решениями.

Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями:
1) убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции;   Примеры ⇓
2) разделить числитель и знаменатель на xs (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞), где s – некоторое подобранное число;   Пример ⇓
3) выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций);   Примеры ⇓
4) иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся.   Пример ⇓

В последних двух случаях применяются следующие формулы:
;
;
;
. . . . . . . .
.
Например:
;
;
.

Эти же формулы применяют и для раскрытия разности бесконечно больших функций: .

Примеры решений

Далее мы приводим подробные решения следующих примеров:
найти предел последовательности:   Решение ⇓ ;
найти следующие пределы функций с корнями:
 ⇓ ,    ⇓ ,    ⇓ ,    ⇓ ,    ⇓ .

Решение подстановкой

Пример 1

Найти предел:
.

Решение

Подставим . Тогда .
При . Мы имеем неопределенность вида .

Замечаем, что от корня можно освободится, если сделать подстановку . Отсюда ; при .
Тогда функцию за знаком предела можно представить как сложную:
,
где ,   .

Далее необходимо применить теорему о пределе сложной функции. Для ее применения должны выполняться два условия:
1) должны существовать пределы ,   ;
2) должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны .

В нашем случае функция непрерывна на всей области определения . Поэтому
.
Предел функции мы вычислим позже.

Рассмотрим условие 2). Оно является важным, если функция не является непрерывной в точке . В нашем случае не определена при . Поэтому, если бы в любой проколотой окрестности точки , существовали такие точки , для которых , то сложная функция была бы не определена в этих точках и поэтому не имела бы предела. Однако, если существует такая окрестность точки , на которой функция строго монотонна, то условие 2) выполняется автоматически. В нашем случае, строго возрастает на всей области определения. Поэтому второе условие выполнено. В самом деле, поскольку строго монотонна, то она может принимать значение только в одной точке. Это точка , которая не принадлежит ни одной проколотой окрестности точки . А если это была бы другая точка, то мы могли бы сузить проколотую окрестность, чтобы эта точка оказалась за ее пределами.

Теперь вычисляем второй предел:
.

Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».

Разложим знаменатель на множители и приводим дроби к общему знаменателю:
;

.
Делим числитель и знаменатель на . При имеем:
.
Находим предел:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти предел последовательности:
.

Решение

Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
.

Поскольку, согласно свойств показательной функции,
,
и поскольку   при  , то согласно определению предела функции по Гейне, .

Далее, если мы найдем предел функции
,
то согласно определению предела функции по Гейне, искомый предел заданной последовательности будет равняться этому пределу: , поскольку   при  .

Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель :

.

Ответ

.

Неопределенность ∞ / ∞

Пример 3

Найти предел отношения корней:
.

Решение

Здесь, при числитель и знаменатель стремятся к . У нас неопределенность вида . Для ее раскрытия, последовательно выносим бесконечно большую часть в числителе и знаменателе за скобки. При   имеем:

;

;
;

;
.

Делим числитель и знаменатель на :
.
При .
Применяя арифметические свойства пределов функции, находим:

.

Ответ

.

Линеаризация бесконечно малых (больших) функций

Пример 4

Найти предел дроби с корнями:
.

Решение

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Числитель и знаменатель обращаются в нуль. Мы имеем неопределенность вида 0/0.
Для ее раскрытия, линеаризуем бесконечно малые функции, используя формулу:
(П4.1)   .

Подставим :
;
.
Отсюда
,
где
.

Подставим в (П4.1) :
;
.
Отсюда
,
где
.

Делим числитель и знаменатель на и находим предел:

.
Здесь , .

Ответ

.

Пример 5

Найти предел функции:
,
где
.

Решение

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Мы имеем неопределенность вида 0/0.

Чтобы упростить вычисления, здесь удобно представить бесконечно малые функции в числителе и знаменателе в виде сумм и разностей других бесконечно малых функций:
(П5.1)   .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где   .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где   .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где   .
.

Наконец, применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где   .
.

Подставляем полученные выражения в (П5.1):
.
Делим числитель и знаменатель на x. В результате мы освобождаемся от неопределенности и находим предел непрерывной функции:

.

Примечание.

Можно было записать и так:

.
После чего вычислить пределы:
.

Ответ

.

Пример 6

Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
.

Решение

Поскольку, при ,   и , то мы имеем неопределенность вида +∞ – (+∞).

Применим формулу:
(П6.1)   .
Подставим :

.
Отсюда, при имеем:
(П6.2)   .

В числителе опять неопределенность +∞ – (+∞). Применяем формулу (П6.1) еще раз. Подставим :

.
Отсюда
.

Подставим в (П6.2):
,
где .
Теперь у нас неопределенность вида ∞/∞. Для раскрытия этой неопределенности, преобразуем знаменатель. Выделим бесконечно большую часть и вынесем ее за скобки. При имеем:
;

;
;


;
;
.

Делим числитель и знаменатель в функции на . При имеем:
.
Находим предел.
При ,   ,

.

Ответ

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.

.     Опубликовано:   Изменено: