Решение пределов с корнями

Изложены методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей от функций с корнями. Рассмотрены следующие приемы: применение подстановки; применение формул разности квадратов (и других степеней) для линеаризации бесконечно малой части; деление числителя и знаменателя дроби на степенную функцию. Приводятся примеры с подробными решениями.

Методы решений

Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Раскрытие неопределенностей с дробями», «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями.
1) Убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции.   Примеры ⇓
2) Разделить числитель и знаменатель на x^s (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞), где s – некоторое подобранное число.   Пример ⇓
3) Выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций).   Примеры ⇓
4) Иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся.   Пример ⇓

В последних двух случаях применяются следующие формулы:
a² – b² = (a – b)(a + b);
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²);
a⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + a² b + ab² + b³);
. . . . . . . .
aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ + a^n – 1 b + a^n – 2 b² + ⋅ ⋅ ⋅ + ab^n – 1 + bⁿ).
Например:
( √ 2x  )² – ( √ x + 1  )² = 2x – (x + 1) = x – 1 = ( √ 2x  – √ x + 1 )( √ 2x  + √ x + 1 );
√ 2x  – √ x + 1  = x – 1√ 2x  + √ x + 1 ;
lim_x → 1 √ 2x  – √ x + 1 x – 1 = lim_x → 1 1√ 2x  + √ x + 1  = 1√ 2 ⋅ 1  + √ 1 + 1  = 12 √ 2 .

Эти же формулы применяют и для раскрытия разности бесконечно больших функций: ∞ – ∞.

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих примеров.
Найти предел последовательности:
lim_{n → ∞} ⁿ√ 16  – 1ⁿ√ 8  – 1   решение ⇓ 
Найти следующие пределы функций с корнями:
lim_x → 4[  4x – 4 – 1√ x  – 2 ]  ⇓ ,   lim_{x → +∞} √ x + √ x² + √ x   √ x + 5   ⇓ ,   lim_x → 2 √ 2 + x  – √ 3x – 2 √ 4x + 1  – √ 5x – 1   ⇓ ,   lim_x → 0 √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x   ⇓ ,   lim_{x → +∞}(  √ 3x² + √ x⁴ + x³   – 2x )  ⇓ .

Решение подстановкой

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел:
L = lim_x → 4[  4x – 4 – 1√ x  – 2 ].

Решение

Подставим x = 4. Тогда x – 4 = 4 – 4 = 0,   √ x  – 2 = √ 4  – 2 = 0.
При x → 4,  4x – 4 → 40 = ∞,   1√ x  – 2 → 10 = ∞.
Мы имеем неопределенность вида ∞ – ∞.

Замечаем, что от корня можно освободится, если сделать подстановку t = √ x .
Тогда функцию за знаком предела можно представить как сложную:
F(x) = 4x – 4 – 1√ x  – 2 = 4( √ x  )² – 4 – 1√ x  – 2 =  f (t(x)),
где  f (t) = 4t² – 4 – 1t – 2,   t(x) = √ x .
Тогда нам нужно найти предел сложной функции
L = lim_x → x0  f (t(x)), где x₀ = 4.

Применим теорему о пределе сложной функции. Но поскольку функция t(x) = √ x  строго монотонна, то мы применим ее разновидность – теорему о пределе функции от монотонной функции.

Для этого сначала вычисляем предел t₀ = lim_x → x0 t(x). Поскольку функция t(x) = √ x  непрерывна на всей области определения, то этот предел равен значению функции в точке x₀:
t₀ = lim_x → x0 t(x) = lim_x → 4 √ x  = √ 4  = 2.

Теперь вычисляем второй предел:
y₀ = lim_t → t0  f (t) = lim_t → 2[  4t² – 4 – 1t – 2 ].
Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».

Разложим знаменатель на множители и приводим дроби к общему знаменателю:
t² – 4 = t² – 2² = (t – 2)(t + 2);
 f (t) = 4t² – 4 – 1t – 2 = 4(t – 2)(t + 2) – t + 2(t – 2)(t + 2) =
 4 – t – 2(t – 2)(t + 2) = – t – 2(t – 2)(t + 2).
Делим числитель и знаменатель на t – 2. При t ≠ 2 имеем:
 f (t) = – t – 2(t – 2)(t + 2) = – 1t + 2.
Находим предел:
y₀ = lim_t → t0  f (t)=–lim_t → 2 1t + 2 = – 12 + 2 = – 14.

По теореме о пределе функции от монотонной функции,
L = lim_x → x0  f (t(x)) = y₀ = – 14.

Ответ

L = –1 / 4.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
L = lim_{n → ∞} ⁿ√ 16  – 1ⁿ√ 8  – 1.

Решение

Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
a_n = ⁿ√ 16  – 1ⁿ√ 8  – 1 = ⁿ√ 2⁴  – 1ⁿ√ 2³  – 1 = ( ⁿ√ 2  )⁴ – 1( ⁿ√ 2  )³ – 1 = ( 2^1 / n )⁴ – 1( 2^1 / n )³ – 1.

Согласно свойств показательной функции,
lim_x → 0 2^x = 2⁰ = 1.
Поскольку 1 / n → 0  при  n → ∞, то согласно определению предела функции по Гейне, lim_{n → ∞} 2^1 / n = lim_x → 0 2^x = 1.

Если мы найдем предел функции
L_f = lim_x → 1 x⁴ – 1x³ – 1,
то согласно определению предела функции по Гейне, искомый предел заданной последовательности будет равняться этому пределу: L = L_f, поскольку 2^1 / n → 1  при  n → ∞.

Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель x – 1:
L = L_f = lim_x → 1 x⁴ – 1x³ – 1 = lim_x → 1 (x – 1)(x³ + x² + x + 1)(x – 1)(x² + x + 1) =
 lim_x → 1 x³ + x² + x + 1x² + x + 1 = 1³ + 1² + 1 + 11² + 1 + 1 = 43.

Ответ

L = 4 / 3.

Неопределенность ∞ / ∞

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел отношения корней:
L = lim_{x → +∞} √ x + √ x² + √ x   √ x + 5 .

Решение

Здесь, при x → +∞ числитель и знаменатель стремятся к +∞. У нас неопределенность вида ∞ / ∞. Для ее раскрытия, последовательно выносим бесконечно большую часть в числителе и знаменателе за скобки. При  x > 0 имеем:
x² + √ x  = x² + x^1 / 2 = x² + x^{2 – 3 / 2} = x² + x² x^–3 / 2 = x² ( 1 + x^–3 / 2 ) = x² ( 1 + 1x^3 / 2 );
√ x² + √ x   = ( x² + √ x  )^1 / 2 = ( x² ( 1 + 1x^3 / 2 ) )^1 / 2 =
 x^2 ⋅ 12 ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 = x( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2;
x + √ x² + √ x   = x + x( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 = x[ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ];
√ x + √ x² + √ x    = ( x + √ x² + √ x   )^1 / 2 =
 { x[ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ] }^1 / 2 = x^1 / 2 ⋅ [ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ]^1 / 2;
√ x + 5  = [ x( 1 + 5x ) ]^1 / 2 = x^1 / 2 ⋅ ( 1 + 5x )^1 / 2.

Делим числитель и знаменатель на x^1 / 2:
√ x + √ x² + √ x   √ x + 5  = x^1 / 2 ⋅ [ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ]^1 / 2x^1 / 2 ⋅ ( 1 + 5x )^1 / 2 = [ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ]^1 / 2( 1 + 5x )^1 / 2.
При x → +∞,  5x → 0,  1x^3 / 2 → 0.
Применяя арифметические свойства пределов функции, находим:
L = lim_{x → +∞} √ x + √ x² + √ x   √ x + 5  = lim_{x → +∞} [ 1 + ( 1 + 1x^3 / 2 )^1 / 2 ]^1 / 2( 1 + 5x )^1 / 2 =
 [ 1 + ( 1 + 0 )^1 / 2 ]^1 / 2( 1 + 0 )^1 / 2 = [1 + 1]^1 / 21 = √ 2 .

Ответ

L = √ 2 .

Линеаризация бесконечно малых (больших) функций

Пример 4

Все примеры ⇑ Найти предел дроби с корнями:
L = lim_x → 2 √ 2 + x  – √ 3x – 2 √ 4x + 1  – √ 5x – 1 .

Решение

Подставим x = 2 в числитель и знаменатель:
( √ 2 + x  – √ 3x – 2 )|_x = 2 = √ 2 + 2  – √ 3 ⋅ 2 – 2  = √ 4  – √ 4  = 0;
( √ 4x + 1  – √ 5x – 1 )|_x = 2 = √ 4 ⋅ 2 + 1  – √ 5 ⋅ 2 – 1  = √ 9  – √ 9  = 0.
Числитель и знаменатель обращаются в нуль. Мы имеем неопределенность вида 0/0.
Для ее раскрытия, линеаризуем бесконечно малые функции, используя формулу:
(П4.1)   a² – b² = (a – b)(a + b).

Подставим a = √ 2 + x ,  b = √ 3x – 2 :
( √ 2 + x  )² – ( √ 3x – 2  )² = ( √ 2 + x  – √ 3x – 2 )( √ 2 + x  + √ 3x – 2  );
2 + x – (3x – 2) = 4 – 2x = 2(2 – x) = ( √ 2 + x  – √ 3x – 2  )( √ 2 + x  + √ 3x – 2 ).
Отсюда
√ 2 + x  – √ 3x – 2  = 2(2 – x) / q₁ (x),
где
q₁ (x) = √ 2 + x  + √ 3x – 2 .

Подставим в (П4.1) a = √ 4x + 1 ,  b = √ 5x – 1 :
( √ 4x + 1  )² – ( √ 5x – 1  )² = ( √ 4x + 1  – √ 5x – 1 )( √ 4x + 1  + √ 5x – 1  );
4x + 1 – (5x – 1) = 2 – x = ( √ 4x + 1  – √ 5x – 1 )( √ 4x + 1  + √ 5x – 1  ).
Отсюда
√ 4x + 1  – √ 5x – 1  = (2 – x) / q₂ (x),
где
q₂ (x) = √ 4x + 1  + √ 5x – 1 .

Делим числитель и знаменатель на (2 – x) и находим предел:
L = lim_x → 2 √ 2 + x  – √ 3x – 2 √ 4x + 1  – √ 5x – 1  = lim_x → 2 2(2 – x)q₂ (x)(2 – x)q₁ (x) =
 lim_x → 2 2q₂ (x)q₁ (x) = 2q₂ (2)q₁ (2) = 2 ⋅ 64 = 3.
Здесь q₁ (2) = ( √ 2 + x  + √ 3x – 2 )|_x = 2 = √ 2 + 2  + √ 3 ⋅ 2 – 2  = √ 4  + √ 4  = 2 + 2 = 4, q₂ (2) = ( √ 4x + 1  + √ 5x – 1 )|_x = 2 = √ 4 ⋅ 2 + 1  + √ 5 ⋅ 2 – 1  = √ 9  + √ 9  = 3 + 3 = 6.

Ответ

L = 3.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел функции:
L = lim_x → 0  f (x),
где
 f (x) = √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x .

Решение

Подставим x = 0 в числитель и знаменатель:
( √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x )|_x = 0 = √ 1 + 4 ⋅ 0  – ³√ 1 + 3 ⋅ 0  = 1 – 1 = 0;
( ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x )|_x = 0 = ⁴√ 1 + 2 ⋅ 0  + 0 – ⁵√ 1 + 5 ⋅ 0  = 1 + 0 – 1 = 0.
Мы имеем неопределенность вида 0/0.

Чтобы упростить вычисления, здесь удобно представить бесконечно малые функции в числителе и знаменателе в виде сумм и разностей других бесконечно малых функций:
(П5.1)    f (x) = √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x  = √ 1 + 4x  – 1 – ( ³√ 1 + 3x  – 1)⁴√ 1 + 2x  – 1 + x – ( ⁵√ 1 + 5x  – 1).

Применим формулу:
a² – b² = (a – b)(a + b).
Подставим a = √ 1 + 4x ,  b = 1:
( √ 1 + 4x  )² – 1² = 1 + 4x – 1 = 4x = ( √ 1 + 4x  – 1)( √ 1 + 4x  + 1).
Отсюда
√ 1 + 4x  – 1 = 4x / q₁ (x), где   q₁ (x) = √ 1 + 4x  + 1.
Заметим, что q₁ (0) = √ 1 + 4 ⋅ 0  + 1 = 2.

Применим формулу:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).
Подставим a = ³√ 1 + 3x ,  b = 1:
( ³√ 1 + 3x  )³ – 1³ = 1 + 3x – 1 = 3x = ( ³√ 1 + 3x  – 1)(( ³√ 1 + 3x  )² + ³√ 1 + 3x  ⋅ 1 + 1²).
Отсюда
³√ 1 + 3x  – 1 = 3x / q₂ (x), где   q₂ (x) = ³√ (1 + 3x)²  + ³√ 1 + 3x  + 1.
Заметим, что q₂ (0) = ³√ (1 + 3 ⋅ 0)²  + ³√ 1 + 3 ⋅ 0  + 1 = 3.

Применим формулу:
a⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + a² b + ab² + b³).
Подставим a = ⁴√ 1 + 2x ,  b = 1:
( ⁴√ 1 + 2x  )⁴ – 1⁴ = 1 + 2x – 1 = 2x =
 ( ⁴√ 1 + 2x  – 1)(( ⁴√ 1 + 2x  )³ + ( ⁴√ 1 + 2x  )² ⋅ 1 + ⁴√ 1 + 2x  ⋅ 1² + 1³).
Отсюда
⁴√ 1 + 2x  – 1 = 2x / q₃ (x), где   q₃ (x) = ⁴√ (1 + 2x)³  + √ 1 + 2x  + ⁴√ 1 + 2x  + 1.
q₃ (0) = ⁴√ (1 + 2 ⋅ 0)³  + √ 1 + 2 ⋅ 0  + ⁴√ 1 + 2 ⋅ 0  + 1 = 4.

Наконец, применим формулу:
a⁵ – b⁵ = (a – b)(a⁴ + a³ b + a² b² + ab³ + b⁴).
Подставим a = ⁵√ 1 + 5x ,  b = 1:
( ⁵√ 1 + 5x  )⁵ – 1⁵ = 1 + 5x – 1 = 5x =
 ( ⁵√ 1 + 5x  – 1)(( ⁵√ 1 + 5x  )⁴ + ( ⁵√ 1 + 5x  )³ ⋅ 1 + ( ⁵√ 1 + 5x  )² ⋅ 1² + ⁵√ 1 + 5x  ⋅ 1³ + 1⁴).
Отсюда
⁵√ 1 + 5x  – 1 = 5x / q₄ (x), где   q₄ (x) = ⁵√ (1 + 5x)⁴  + ⁵√ (1 + 5x)³  + ⁵√ (1 + 5x)²  + ⁵√ 1 + 5x  + 1.
q₄ (0) = ⁵√ (1 + 5 ⋅ 0)⁴  + ⁵√ (1 + 5 ⋅ 0)³  + ⁵√ (1 + 5 ⋅ 0)²  + ⁵√ 1 + 5 ⋅ 0  + 1 = 5.

Подставляем полученные выражения в (П5.1):
 f (x) = √ 1 + 4x  – 1 – ( ³√ 1 + 3x  – 1)⁴√ 1 + 2x  – 1 + x – ( ⁵√ 1 + 5x  – 1) = 4xq₁ (x) – 3xq₂ (x)2xq₃ (x) + x – 5xq₄ (x).
Делим числитель и знаменатель на x. В результате мы освобождаемся от неопределенности и находим предел непрерывной функции:
L = lim_x → 0  f (x) = lim_x → 0 4xq₁ (x) – 3xq₂ (x)2xq₃ (x) + x – 5xq₄ (x) = lim_x → 0 4q₁ (x) – 3q₂ (x)2q₃ (x) + 1 – 5q₄ (x) =
 4q₁ (0) – 3q₂ (0)2q₃ (0) + 1 – 5q₄ (0) = 42 – 3324 + 1 – 55 = 2 – 112 + 1 – 1 = 2.

Можно было записать и так:
L = lim_x → 0  f (x) = lim_x → 0 √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x  =
 lim_x → 0 √ 1 + 4x  – 1 – ( ³√ 1 + 3x  – 1)⁴√ 1 + 2x  – 1 + x – ( ⁵√ 1 + 5x  – 1)  = lim_x → 0 √ 1 + 4x  – 1x – ³√ 1 + 3x  – 1x⁴√ 1 + 2x  – 1x + 1 – ⁵√ 1 + 5x  – 1x.
После чего вычислить пределы:
lim_x → 0 √ 1 + 4x  – 1x ,  lim_x → 0 ³√ 1 + 3x  – 1x ,  lim_x → 0 ⁴√ 1 + 2x  – 1x ,  lim_x → 0 ⁵√ 1 + 5x  – 1x.

Ответ

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
L = lim_{x → +∞}(  √ 3x² + √ x⁴ + x³   – 2x ).

Решение

Поскольку, при x → +∞,   √ 3x² + √ x⁴ + x³   → +∞ и 2x → +∞, то мы имеем неопределенность вида +∞ – (+∞).

Применим формулу:
(П6.1)   a² – b² = (a – b)(a + b).
Подставим a = √ 3x² + √ x⁴ + x³  ,  b = 2x:
( √ 3x² + √ x⁴ + x³   )² – ( 2x )² = 3x² + √ x⁴ + x³  – 4x² = √ x⁴ + x³  – x² =
 (  √ 3x² + √ x⁴ + x³   – 2x ) ⋅ (  √ 3x² + √ x⁴ + x³   + 2x ).
Отсюда, при x > 0 имеем:
(П6.2)    f (x) = √ 3x² + √ x⁴ + x³   – 2x = √ x⁴ + x³  – x²√ 3x² + √ x⁴ + x³   + 2x.

В числителе опять неопределенность +∞ – (+∞). Применяем формулу (П6.1) еще раз. Подставим a = √ x⁴ + x³ ,  b = x²:
( √ x⁴ + x³  )² – (x²)² = x⁴ + x³ – x^2 ⋅ 2 = x⁴ + x³ – x⁴ = x³ =
 ( √ x⁴ + x³  – x²)( √ x⁴ + x³  + x²).
Отсюда
√ x⁴ + x³  – x² = x³√ x⁴ + x³  + x².

Подставим в (П6.2):
 f (x) = x³q(x),
где q(x) = (  √ 3x² + √ x⁴ + x³   + 2x ) ⋅ (  √ x⁴ + x³  + x² ).
Теперь у нас неопределенность вида ∞/∞. Для раскрытия этой неопределенности, преобразуем знаменатель. Выделим бесконечно большую часть и вынесем ее за скобки. При x > 0 имеем:
x⁴ + x³ = x⁴ + x^4 – 1 = x⁴ + x⁴ x^–1 = x⁴ (1 + x^–1) = x⁴ ( 1 + 1x );
√ x⁴ + x³  = (x⁴ (1 + x^–1))^1 / 2 = (x⁴)^1 / 2 (1 + x^–1)^1 / 2 =
 x^4 ⋅ 12 (1 + x^–1)^1 / 2 = x² (1 + x^–1)^1 / 2;
3x² + √ x⁴ + x³  = 3x² + x² (1 + x^–1)^1 / 2 = x² ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 );
√ 3x² + √ x⁴ + x³   + 2x = ( x² ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 ) )^1 / 2 + 2x =
 x^2 ⋅ 12 ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 )^1 / 2 + 2x = x( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 )^1 / 2 + 2x =
 x[ ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 )^1 / 2 + 2 ];
√ x⁴ + x³  + x² = x² (1 + x^–1)^1 / 2 + x² = x² ( (1 + x^–1)^1 / 2 + 1 );
q(x) = x³ [ ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 )^1 / 2 + 2 ] ⋅ ( (1 + x^–1)^1 / 2 + 1 ).

Делим числитель и знаменатель в функции  f (x) на x³. При x > 0 имеем:
 f (x) = x³ / q(x) = 1 / {[ ( 3 + (1 + x^–1)^1 / 2 )^1 / 2 + 2 ] ⋅ ( (1 + x^–1)^1 / 2 + 1 )}.
Находим предел.
При x → +∞,   x^–1 = 1x → 0,
 f (x) → 1 / {[ ( 3 + (1 + 0)^1 / 2 )^1 / 2 + 2 ] ⋅ ( (1 + 0)^1 / 2 + 1 )} =
 1 / { [ ( 3 + 1 )^1 / 2 + 2 ]( 1 + 1 ) } = 1 / { [  √ 4  + 2 ] ⋅ 2 } = 1 / { [ 2 + 2 ] ⋅ 2 } = 1 / 8.

Ответ

L = 1 / 8.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-02-2019   Изменено: 30-11-2021