Примеры пределов с решениями

Страница содержит ссылки на 45 примеров решений пределов функций и 28 задач на смежные темы. К смежным темам относятся задачи на применение определений предела последовательности и предела функции, а также задачи на непрерывность функции.

• Попробуйте решить указанные ниже задачи на вычисление пределов и смежные вопросы.
• Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Определение предела последовательности

Используя определение предела последовательности доказать, что
lim_{n → ∞} (–1)ⁿn = 0   >>>       lim_{n → ∞} nn² + 1 = 0   >>>       lim_{n → ∞} 3n² + n + 12n² – 1 = 32   >>>       lim_{n → ∞} sin n√ n  = 0   >>>       lim_{n → ∞} 3n² + 2n – 13n³ – n² + 5n – 2 = 0   >>>

Применяя теорему о промежуточной последовательности, и используя то, что lim_{n → ∞} 1n = 0, найти пределы:
lim_{n → ∞} sin nn   >>>       lim_{n → ∞} 1n 2ⁿ   >>>

Используя определение бесконечно большой последовательности доказать, что
lim_{n → ∞}(–1)ⁿ n² = ∞   >>>       lim_{n → ∞} n² = +∞   >>>       lim_{n → ∞}( –n² ) = –∞   >>>       lim_{n → ∞} n² + n + 1n + 2 = +∞   >>>

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
x₁ = √ 12 ,   x₂ = √ 12 + √ 12  ,   . . . ,   x_n = √ 12 + √ 12+... + √ 12   _{n корней}, . . . ,
после чего найти ее предел.
Решение >>>

Определение предела функции

Используя определение предела функции по Коши (эпсилон и дельта рассуждения) доказать, что
lim_x → 1 x² + x + 1x² + 1 = 32   >>>       lim_x → 1 x² + x + 1(x – 1)(x – 2)(x – 3) = ∞   >>>       lim_{x → 1 – 0} x² + x + 1(x – 1)(x – 2)(x – 3)  =  – ∞   >>>       lim_{x → ∞} x² + 11 – x – x² = –1   >>>       lim_{x → –∞} x(  √ x² + 1  – x ) = –∞   >>>       lim_{x → +∞} x(  √ x² + 1  – x ) = 1 / 2   >>>

Непрерывность функции

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция  f (x) = x⁴ непрерывна для всех x.   Решение >>>
Используя определение непрерывности по Коши доказать, что функция  f (x) = ⁴√ x  непрерывна для всех x ≥ 0.   Решение >>>

Задана функция y =  f (x) и два значения аргумента x₁ и x₂. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
 f (x) = 4^{1 / (x + 2)},   x₁ = –4,  x₂ = –2.   Решение >>>

Задана функция y =  f (x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.

Определить точки разрыва функции y =  f (x) и исследовать характер этих точек, если
 f (x) = x³ + 1x² – x – 2.   Решение >>>

Докажите, что уравнение xⁿ = a, где n – натуральное, a ≥ 0 – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, x ∈ R. Это решение называется корнем степени n из числа a. То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n.   Решение >>>

Исследовать функции на равномерную непрерывность:
1)  f (x) = 1 / x на замкнутом луче [1, +∞) ❯
2)  f (x) = √ x  на своей области определения, [0, +∞) ❯
3)  f (x) = 1 / x на открытом луче (0, +∞) ❯
4)  f (x) = sin 1x на открытом луче (0, +∞) ❯

Вычисление пределов

Найти, если существует, предел функции:
lim_x → 1 sin[ (x – 1) sin 1x – 1  ](x – 1) sin 1x – 1.   Решение >>>

Найти односторонние пределы сложной функции в точке x = 0:
lim_{x → 0 – 0} e^1x  и  lim_{x → 0 + 0} e^1x.   Решение >>>

Найти предел функции или последовательности.
lim_x → 1 (2x – 1)(4x – 1)x³ + 6x² + 11x + 6   >>>       lim_{x → ∞} 2x³ + x² + 5x³ + 5x + 1   >>>       lim_{x → ∞} 4 + 2x + 3x³1 + x² – 2x³ – 5x⁴   >>>       lim_{x → ∞} 2x⁴ + x³ – 2x² + 3x² – x + 8   >>>       lim_x → 2 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6   >>>       lim_x → 1 x³ – 2x + 1x³ – x² + 6   >>>       lim_{x → 2 – 0} x² – 2x – 2x³ + 4x² – 12x   >>>       lim_{x → 2 + 0} x² – 2x – 2x³ + 4x² – 12x   >>>       lim_{x → –2} x² + 3x + 2x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6   >>>       lim_x → 3 x³ – 5x² + 3x + 9x³ – x² – 21x + 45   >>>       lim_x → 2[  2x + 4x² – 2x – x² + 2x + 12x³ – 2x² + x – 2 ] >>>       lim_x → 4[  4x – 4 – 1√ x  – 2 ]   >>>       lim_{n → ∞} ⁿ√ 16  – 1ⁿ√ 8  – 1   >>>       lim_{x → +∞} √ x + √ x² + √ x   √ x + 5    >>>       lim_x → 2 √ 2 + x  – √ 3x – 2 √ 4x + 1  – √ 5x – 1    >>>       lim_x → 0 √ 1 + 4x  – ³√ 1 + 3x ⁴√ 1 + 2x  + x – ⁵√ 1 + 5x    >>>       lim_{x → +∞}(  √ 3x² +  √ x⁴ + x³   – 2x ) >>>       lim_x → 0 sin 2xsin 5x   >>>       lim_x → 0 tg 5xsin 3x   >>>       lim_{x → π2} 1 – tg x2cos x   >>>       lim_x → 0 1 – cos xx²   >>>       lim_x → 0 1 – cos 3x cos 5x cos 7x1 – cos x   >>>       lim_x → 0 √ cos x  – ³√ cos x arctg² x   >>>       lim_{x → ∞}( x + 1x – 1 )^x   >>>       lim_x → 0( cos xcos 2x )^1x 2   >>>       lim_{m → ∞}( cos x√ m   )^m   >>>       lim_x → 0 (1 + x)^α – 1x   >>>       lim_x → 0 e^sin 4x – e^sin xln(1 + 4x)   >>>

Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
lim_{n → ∞}(  √ n(n + 1)  – n )   >>>
Вычислить пределы, используя разложение функций в ряд Тейлора.
lim_{x → ∞}( 1 + 1x )^x   >>>       lim_x → 0 e^x – ln(1 + x) – 11 – cos x   >>>       lim_x → 0 ln(1 + sh x) + e^–x – 1x³   >>>       lim_x → 0 ln(1 + e^x) – ln( 2 + sin x²4 ) –  x2sin² x ⋅ tg² x >>>

Найти пределы, используя правило Лопиталя.
lim_{x → +∞} e^axx^b  (a > 0,  b > 0)   >>>       lim_{x → +∞} ln^b xx^a  (a > 0,  b > 0)   >>>       lim_x → 0 e^x – ln(1 + x) – 11 – cos x   >>>       lim_{x → –2} x² + 3x + 2x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x – 6   >>>       lim_{x → 0 + 0} x^x   >>>       lim_x → 0(  1ln(1 + x) – 1x )   >>>

Найти пределы, применяя эквивалентные функции.
lim_x → 0 sin x sin 3x sin 5xsin x³   >>>       lim_x → 0 sin 5x ln² (1 + 2x)(1 – cos x) tg 4x   >>>       lim_x → 0(1 – 2x²)^ctg 2 x   >>>       lim_x → 0(  xln² (1 + x) – 1x )   >>>

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 16-05-2019   Изменено: 09-02-2020