Методы решения физико-математических задач

Доказательство первого замечательного предела и его следствий

Первый замечательный предел и его следствия
Приводится доказательство первого замечательного предела и его следствий.

Лемма. Первый замечательный предел
.
Доказательство ⇓

Следствия первого замечательного предела
;
;
.
Доказательство ⇓

Доказательство первого замечательного предела

Доказательство 1 замечательного предела

Доказательство 1 замечательного предела: SCAB < SCADB < SCEB.

Пусть точки A и B лежат на окружности радиуса R с центром в точке C: |CA| = |CB| = R (см. рисунок). Через точку A проведем высоту AH треугольника ABC. Через точку B проведем перпендикуляр BE к отрезку BC до пересечения с прямой CA в точке E. Пусть α – угол, выраженный в радианах, между сторонами CA и CB:
.

1) Рассмотрим случай .
Мы имеем треугольник CAB. Он вложен в сектор круга CADB, который вложен в треугольник CEB. Поскольку каждая последующая фигура содержит предыдущую, и фигуры различны, то их площади связаны неравенствами:
(1)   .
Выразим их через угол α и радиус окружности R:
;
;
.

Подставим в (1) и разделим на положительное число :
;
.
Разделим на положительное число :
.
Применим к неравенствам строго убывающую функцию :
;
.
Итак, мы нашли, что
(2)     при  .

2) Теперь рассмотрим отрицательные значения .
Тогда – положительное. Подставим в (2) и воспользуемся четностью косинуса и нечетностью синуса:
;
;
;
.
Таким образом, неравенства (2) выполняются как для положительных, так и для отрицательных значений :
(3)     при  .

В силу непрерывности функции косинус:
.
Переходим в (3) к пределу . Применяя теорему о промежуточной функции, получаем:
.
Наконец, обозначим переменную α буквой x:
.

Первый замечательный предел доказан.

Доказательство следствий первого замечательного предела

Формулировка ⇑

1) Докажем, что :

.
Здесь мы, кроме доказанного выше первого замечательного предела, использовали арифметические свойства пределов функций и непрерывность функции косинус.

Следствие 1) доказано.

2) Докажем, что :
.
Приведем пояснения к вычислениям, двигаясь с конца. Мы использовали первый замечательный предел: , применили арифметические свойства пределов функций: .

Далее мы воспользовались теоремой о пределе сложной функции. Поясним этот переход более подробно. Пусть
.
Тогда эту функцию можно представить как сложную:
,
где ,   .
Чтобы применить теорему о пределе сложной функции, нам нужно показать три вещи:
a) что существует предел ;
b) что существует такая проколотая окрестность точки , на которой
  при  .
c) что существует предел .

Покажем это.
a) Поскольку функция арксинус непрерывна на своей области определения, то предел равен значению функции в :
.
b) Если бы функция была непрерывной в точке , то и не было бы условия b), а предел равнялся бы значению функции в : . Но в нашем случае, функция не определена при , и поэтому не является непрерывной в . Нам нужно доказать, что существует такая проколотая окрестность   точки  , на которой
  при  .
Такая окрестность существует, поскольку функция строго монотонна и поэтому имеет значение только в одной точке. Это точка , поскольку для нее  . Она не принадлежит ни к одной проколотой окрестности точки (по определению проколотой окрестности). Таким образом, пункт b) выполнен.
c) Выше мы показали, что существует предел
.

И, наконец, исходя из определения функции арксинус,
  при  .

Следствие 2) доказано.

3) Здесь доказательство аналогично предыдущему.
Поскольку   и    при  , то
.

Следствия доказаны.

.     Опубликовано: