Методы решения физико-математических задач

Замена переменной при решении пределов

Правила решения пределов подстановкой
Изложены правила, которые необходимо соблюдать, применяя замену переменной при решении пределов. Формальное применение подстановок, в некоторых случаях, может приводить к неверному результату. Приводится пример, в котором существуют промежуточные пределы, но предела исходной сложной функции не существует.

Здесь мы рассмотрим вопрос о замене переменной при вычислении предела функции.

Пусть нам нужно вычислить предел:
(1)   ,
где – конечное число , либо один из символов: . И пусть функцию можно представить в виде сложной:
.
Тогда мы применяем теоремы о пределе и непрерывности сложной функции. Для этого делаем замену переменной и разбиваем процесс вычисления исходного предела (1) на несколько частей.

1)   Вычисляем предел .
2)   Если – конечное число , и не является непрерывной в , то убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность   точки , на которой   при  .
3)   Делаем замену переменной и вычисляем предел   .

Здесь есть конечное число , либо один из символов: . Пояснения для значений предела и приводятся ниже ⇓.

Правила выполнения замены переменной

Если предела не существует, то замену переменной применять нельзя. Исходный предел может существовать, но нужно применять другие методы исследования.

Если является одним из символов , то второй пункт выполнен. Вычислив предел , сразу переходим к третьему пункту и вычисляем искомое значение (если существует).

Если является конечным числом и непрерывна в , то на основании определения непрерывной функции, мы переносим знак предела к аргументу функции:
.

Если же функция не является непрерывной в , то мы должны убедиться, что существует такая проколотая окрестность    точки , на которой
(2)     при  .
В противном случае, в любой проколотой окрестности существуют точки , в которых принимает значение . Но при функция или не определена, или имеет значение, отличное от предельного (в противном случае была бы непрерывной в ). Поэтому предела не существует, несмотря на то, что существуют пределы   и   (см. пример ⇓).

Условие (2) выполняется, если существует такая окрестность точки , на которой или строго монотонна, или имеет строгий экстремум в . То есть фактически, условие (2) выполняется, если задана явным аналитическим способом посредством элементарных функций, за исключением тригонометрических. А если в состав входят тригонометрические функции, или применяются другие способы задания функций, то необходимо провести исследование. В этом случае, при , возможно бесконечное число значений в любой окрестности .

Собственно в этом и заключается главное предостережение, которое необходимо учитывать, применяя подстановки при вычислении пределов.

Значения предела t0±0

Поясним, почему мы обозначили величину предела буквой с тильдой: . Такое обозначение означает, что предел при может быть либо конечным числом , либо одним из символов: . Символы общеприняты при записи величины предела (см. Бесконечный предел функции). Символ означает, что стремится к числу со стороны значений, меньших . То есть существует такая проколотая окрестность точки , на которой   при  . Аналогично, символ означает, что стремится к числу со стороны значений, больших . Для окончательного результата, и являются просто одним числом . Но для промежуточного результата, как в случае со сложной функцией, нам нужно различать, какие значения принимает аргумент функции – большие или меньшие .

Например, функция , при стремится к нулю: .
При , она стремится к плюс бесконечности:
.

Если положить , то   .
Тогда для сложной функции :
.

Если положить , то   ;
.

Пример

Найти, если существует, предел функции:
.

Решение

Введем обозначение:
.
Функция определена для всех x, за исключением точки . Применим подстановку:
.
Представим как сложную функцию:
,   где .

1) Находим предел
.
Поскольку при   и функция синус ограничена: , то согласно теореме о произведении ограниченной функции на бесконечно малую,
.
Таким образом, при , первый предел является конечным числом:
.

2) Функция не является непрерывной в точке , поскольку она в ней не определена, так как знаменатель дроби равен нулю. Поэтому мы должны доказать, что существует такая проколотая окрестность   точки , на которой   при  .
Однако, такой окрестности не существует.

Рассмотрим уравнение:
.
Согласно свойствам функции синус, это уравнение выполняется, если
,   где n – целое.
Отсюда
.

Если в качестве n мы возьмем натуральные числа , то получим последовательность, с элементами . Поскольку , то эта последовательность сходится к единице при . Таким образом, в любой окрестности точки , существует бесконечное число элементов последовательности , для которых . Второе условие не выполнено.

Несмотря на то, что существуют пределы   и  , предела исходной функции не существует, поскольку существует сходящаяся к 1 последовательность, на которой не определена.

Ответ

Предела не существует.

.     Опубликовано: