Замена переменной при решении пределов
Краткое описание метода
Здесь мы рассмотрим вопрос о замене переменной при вычислении предела функции.
Пусть нам нужно вычислить предел:
(1) L = limx → ~x0 F(x),
где ~x0 – конечное число x0, либо один из символов: x0 – 0, x0 + 0, ∞, –∞, +∞. И пусть функцию F(x) можно представить в виде сложной:
F(x) = f (t(x)).
Тогда мы применяем теоремы о пределе и непрерывности сложной функции. Для этого делаем замену переменной t = t(x) и разбиваем процесс вычисления исходного предела (1) на несколько частей.
1) Вычисляем предел ~t0 = limx → ~x0 t(x).
2) Если ~t0 – конечное число t0, и f (t) не является непрерывной в t0, то убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность ○U(~x0) точки ~x0, на которой t(x) ≠ t0 при x ∈ ○U(~x0).
3) Делаем замену переменной t = t(x) и вычисляем предел L = limt → ~t0 f (t).
Здесь ~t0 есть конечное число t0, либо один из символов: t0 – 0, t0 + 0, ∞, –∞, +∞. Пояснения для значений предела t0 – 0 и t0 + 0 приводятся ниже ⇓.
Правила выполнения замены переменной
Если предела limx → ~x0 t(x) не существует, то замену переменной применять нельзя. Исходный предел limx → ~x0 F(x) может существовать, но нужно применять другие методы исследования.
Если ~t0 является одним из символов t0 – 0, t0 + 0, ∞, –∞, +∞, то второй пункт выполнен. Вычислив предел ~t0 = limx → ~x0 t(x), сразу переходим к третьему пункту и вычисляем искомое значение L = limt → ~t0 f (t) (если существует).
Если ~t0 является конечным числом t0 и f (t) непрерывна в t0, то на основании определения непрерывной функции, мы переносим знак предела к аргументу функции:
L = limx → ~x0 F(x) = limx → ~x0 f (t(x)) = f ( limx → ~x0 t(x) ) = f (t0).
Если же функция f (t) не является непрерывной в t0, то мы должны убедиться, что существует такая проколотая окрестность ○U(~x0) точки ~x0, на которой
(2) t(x) ≠ t0 при x ∈ ○U(~x0).
В противном случае, в любой проколотой окрестности ○U(~x0) существуют точки xn, в которых t(x) принимает значение t0 = t(xn). Но при t = t0 функция f (t) или не определена, или имеет значение, отличное от предельного t(t0) ≠ limt → t0 f (t) (в противном случае f (t) была бы непрерывной в t0). Поэтому предела L = limx → ~x0 F(x) не существует, несмотря на то, что существуют пределы t0 = limx → ~x0 t(x) и limt → t0 f (t) (см. пример ⇓).
Условие (2) выполняется, если существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой t(x) строго монотонна. Монотонность может иметь разный характер слева и справа от x0. Например, слева функция возрастает; справа – убывает. То есть фактически, условие (2) выполняется, если t(x) задана явным аналитическим способом посредством элементарных функций, за исключением тригонометрических. А если в состав t(x) входят тригонометрические функции, или применяются другие способы задания функций, то необходимо провести исследование. В этом случае, при x → x0, возможно бесконечное число значений t(x) = t0 в любой окрестности x0.
Собственно в этом и заключается главное предостережение, которое необходимо учитывать, применяя подстановки при вычислении пределов.
Значения предела t0±0
Поясним, почему мы обозначили величину предела буквой с тильдой: ~t0 = limx → ~x0 t(x). Такое обозначение означает, что предел t(x) при x → ~x0 может быть либо конечным числом t0, либо одним из символов: t0 – 0, t0 + 0, ∞, –∞, +∞. Символы ∞, –∞, +∞ общеприняты при записи величины предела (см. Бесконечный предел функции). Символ t0 – 0 означает, что t(x) стремится к числу t0 со стороны значений, меньших t0. То есть существует такая проколотая окрестность ○U(~x0) точки ~x0, на которой t(x) < t0 при x ∈ ○U(~x0). Аналогично, символ t0 + 0 означает, что t(x) стремится к числу t0 со стороны значений, больших t0. Для окончательного результата, t0 – 0 и t0 + 0 являются просто одним числом t0. Но для промежуточного результата, как в случае со сложной функцией, нам нужно различать, какие значения принимает аргумент функции f (t) – большие или меньшие t0.
Например, функция f (t) = 2 1t – 1, при t → 1 – 0 стремится к нулю: limt → 1 – 0 f (t) = limt → 1 – 0 2 1t – 1 = 2 1–0 = 2 –∞ = 0.
При t → 1 + 0, она стремится к плюс бесконечности:
limt → 1 + 0 f (t) = limt → 1 + 0 2 1t – 1 = 2 1+0 = 2 +∞ = +∞.
Если положить t(x) = 1 + (x – 2) 2, то limx → 2 t(x) = 1 + 0.
Тогда для сложной функции F(x) = f (t(x)):
limx → 2 F(x) = limx → 2 f (t(x)) = limt → 1 + 0 f (t) = +∞.
Если положить t(x) = 1 – (x – 2) 2, то limx → 2 t(x) = 1 – 0;
limx → 2 F(x) = limx → 2 f (t(x)) = limt → 1 – 0 f (t) = 0.
Пример
Все примеры Найти, если существует, предел функции:
L = limx → 1 sin[ (x – 1) sin 1x – 1 ](x – 1) sin 1x – 1.
Решение
Введем обозначение:
F(x) = sin[ (x – 1) sin 1x – 1 ](x – 1) sin 1x – 1.
Функция F(x) определена для всех x, за исключением точки x = 1. Применим подстановку:
t = t(x) = (x – 1) sin 1x – 1.
Представим F(x) как сложную функцию:
F(x) = f (t(x)), где f (t) = sin tt.
1) Находим предел
~t0 = limx → 1 t(x) = limx → 1(x – 1) sin 1x – 1.
Поскольку при x → 1, x – 1 → 0 и функция синус ограничена: | sin 1x – 1 | ≤ 1, то согласно теореме о произведении ограниченной функции на бесконечно малую,
~t0 = limx → 1[ (x – 1) sin 1x – 1 ] = 0.
Таким образом, при x → 1, первый предел является конечным числом:
~t0 = t0 = 0.
2) Функция f (t) = sin tt не является непрерывной в точке t = t0 = 0, поскольку она в ней не определена, так как знаменатель дроби равен нулю. Поэтому мы должны доказать, что существует такая проколотая окрестность ○U(x0) точки x0 = 1, на которой t(x) ≠ 0 при x ∈ ○U(x0).
Однако, такой окрестности не существует.
Рассмотрим уравнение:
t(x) = (x – 1) sin 1x – 1 = 0.
Согласно свойствам функции синус, это уравнение выполняется, если
1x – 1 = nπ, где n – целое.
Отсюда
x – 1 = 1nπ.
Если в качестве n мы возьмем натуральные числа n = 1, 2, 3,..., то получим последовательность, с элементами xn = 1 + 1nπ. Поскольку limn → ∞ 1n = 0, то эта последовательность сходится к единице при n → ∞. Таким образом, в любой окрестности точки x0 = 1, существует бесконечное число элементов последовательности {xn}, для которых t(xn) = t0 = 0. Второе условие не выполнено.
Несмотря на то, что существуют пределы limx → 1 t(x) = 0 и limt → 0 sin tt = 1, предела исходной функции limx → 1 F(x) не существует, поскольку существует сходящаяся к 1 последовательность, на которой F(x) не определена.
Ответ
Предела не существует.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: