Методы решения физико-математических задач

Примеры решений задач с помощью первого замечательного предела

Примеры задач, решаемых с помощью первого замечательного предела
Собраны формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью первого замечательного предела. Даны подробные решения примеров с использованием первого замечательного предела его следствий.

Применяемые формулы, свойства и теоремы

Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется первый замечательный предел и его следствия.

Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения с объяснениями следующих пределов:
,   ,   ,   ,   ,   .

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел функции:
.

Решение с помощью первого замечательного предела

При ,   ;   . Это неопределенность вида 0/0.

Для ее раскрытия, преобразуем функцию за знаком предела и разделим числитель и знаменатель дроби на x:
.

Заметим, что функцию в числителе можно представить как сложную:
,
где . Тогда для вычисления предела , делаем замену переменной.

Для этого.
1. Вычисляем предел .
Поскольку функция непрерывна для всех x, и в том числе в точке , то
.
2. Поскольку функция не определена (и, следовательно, не является непрерывной) при , то нам нужно убедиться, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой . В нашем случае при . Поэтому это условие выполнено.
3. Вычисляем предел . В нашем случае он равен первому замечательному пределу:
.

Таким образом,
.
Аналогичным образом, находим предел функции в знаменателе:
;
  при  ;
.

И наконец, применяем арифметические свойства предела функции:
.

Решение с помощью эквивалентных функций

Применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного.
При . Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ;   при .
Тогда .

Ответ

.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найдите предел:
.

Решение с помощью первого замечательного предела

При ,   ,   . Это неопределенность вида 0/0.

Преобразуем функцию за знаком предела:
.

Сделаем замену переменной . Поскольку   и   при  , то
.
Аналогичным образом имеем:
.
Поскольку функция косинус непрерывна на всей числовой оси, то
.
Применяем арифметические свойства пределов:

.

Решение с помощью эквивалентных функций

Применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного.
При . Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ;   при .
Тогда .

Ответ

.

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

Подставим в числитель и знаменатель дроби:
;
.
Это неопределенность вида 0/0.

Попробуем решить этот пример с помощью первого замечательного предела. Поскольку в нем значение переменной стремится к нулю, то сделаем подстановку, чтобы новая переменная стремилась не к  , а к нулю. Для этого от x перейдем к новой переменной t, сделав подстановку   ,   . Тогда при , .

Предварительно преобразуем функцию за знаком предела, умножив числитель и знаменатель дроби на :
.
Подставим и воспользуемся приведенными выше тригонометрическими формулами.
;


;

.

Функция непрерывна при . Находим ее предел:
.

Преобразуем вторую дробь и применим первый замечательный предел:
.
В числителе дроби мы сделали подстановку .

Применяем свойство предела произведения функций:

.

Ответ

.

Пример 4

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

При ,   ,   . У нас неопределенность вида 0/0.

Преобразуем функцию под знаком предела. Применим формулу:
.
Подставим :
.
Преобразуем знаменатель:
.
Тогда
.

Поскольку     и     при  , то сделаем подстановку  , и применим теорему о пределе сложной функции и первый замечательный предел:
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Ответ

.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найдите предел функции:
.

Решение

Нетрудно убедиться, что в этом примере мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим результат предыдущей задачи, согласно которому
.

Введем обозначение:
(П5.1)   .   Тогда
(П5.2)   .
Из (П5.1) имеем:
.
Подставим в исходную функцию:

,
где ,
,
;
;
;
.

Используем (П5.2) и непрерывность функции косинус. Применяем арифметические свойства предела функции.
,
здесь m – отличное от нуля число, ;
;


;
.

Ответ

.

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

При , числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, преобразуем числитель дроби:
.

Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .

Применим формулу:
.
Подставим :
;
,
где .

Числитель дроби:

.
Функция за знаком предела примет вид:
.

Найдем предел последнего множителя, учитывая его непрерывность при :



.

Применим тригонометрическую формулу:
.
Подставим ,
. Тогда
.

Разделим числитель и знаменатель на , применим первый замечательный предел и одно из его следствий:

.

Окончательно имеем:
.

Примечание 1.   Также можно было применить формулу
, подставив .

Примечание 2.   В конце мы могли применить теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного.
Из таблицы эквивалентных функций находим:
при ;   при .
Тогда   .

Ответ

.

.     Опубликовано:   Изменено: