Методы решения физико-математических задач

Предел и непрерывность сложной функции

Предел и непрерывность сложной функции
Приводятся доказательства следующих теорем: теоремы о непрерывности сложной функции; теоремы о пределе непрерывной функции от функции; теоремы о пределе сложной функции. Рассмотрен пример определения предела сложной функции в точке, в которой функции не являются непрерывными.

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция g(t)  непрерывна в точке t0. И пусть функция f(x)  непрерывна в точке x0 = g(t0).
Тогда сложная функция  f(g(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство ⇓

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t) при t → t0, и он равен x0:
.
Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)  непрерывна в точке x0.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t)), и он равен f(x0):
.
Доказательство ⇓

Эта теорема означает, что знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.

По сравнению с предыдущей теоремой, здесь на функцию g(t) наложено менее жесткое условие. А именно: функция g(t) может быть не определена в точке t0, или ее значение в этой точке может отличаться от x0. Также точка t0 может быть бесконечно удаленной.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Доказательство ⇓

Если функция определена в точке и имеет значение , то эта функция является непрерывной в этой точке и, для вычисления предела, нужно воспользоваться предыдущей теоремой. Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Поэтому, для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , чтобы множество значений функции на этой окрестности не содержало точку :
.

Пример

Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
  и  .

Решение

Функцию можно рассматривать как композицию двух элементарных функций:
,
где .

Рассмотрим функцию . Она определена для всех значений переменной , за исключением точки и имеет в этой точке односторонние пределы:
.

Возьмем произвольную левую проколотую окрестность точки :
, где .
Функция отображает эту окрестность в левую окрестность бесконечно удаленной точки , которая, разумеется, является проколотой.

Таким образом, чтобы найти левый предел сложной функции в точке , надо найти левый предел функции в бесконечно удаленной точке. Этот предел хорошо известен и равен нулю:
.
Тогда
.
Схематично процесс решения можно записать так:
При .
При .

Аналогично для предела справа:
При .
При .

Ответ

;
.

Доказательства теорем

Доказательство теоремы о непрерывности сложной функции

Формулировка ⇑

1. Покажем сначала, что существует такая окрестность точки , на которой определена сложная функция .

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Поскольку функция непрерывна в точке , то она определена на некоторой окрестности этой точки, и имеется такая функция , так что для любого ,
(1.1)     при  .
Здесь конечно подразумевается, что функция выбрана так, что окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Поскольку функция непрерывна в точке , то она определена на некоторой окрестности этой точки, и имеется такая функция , так что для любого ,
(1.2)     при  .
Здесь также подразумевается, что окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Таким образом, при некотором фиксированном положительном значении , функция определена, по крайней мере на окрестности точки , и ее множество значений лежит в окрестности , на которой определена функция . Поэтому существует такая окрестность точки :
,
на которой определена сложная функция .

2. Теперь покажем, что
.

Перепишем неравенства (1.1) и (1.2), справедливые для любых и :
(1.1)     при  .
(1.2)     при  .

Возьмем произвольное положительное число . Тогда на основании (1.1) имеем:
  при  .
Поскольку и , то из (1.2) следует, что
  при  .
Тогда
  при  .

Тем самым мы нашли такую функцию , при которой, для любого ,
  при  .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о пределе непрерывной функции от функции

Формулировка ⇑

1. Покажем сначала, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена сложная функция .

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Поскольку функция непрерывна в точке , то она определена на некоторой окрестности этой точки, и имеется такая функция , так что для любого ,
(2.1)     при  .
Здесь конечно подразумевается, что окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши. Поскольку функция имеет предел в точке , то она определена на некоторой проколотой окрестности этой точки, и для любого , существует положительное число , зависящее от , так что
(2.2)     при  .
Здесь означает проколотую δ - окрестность точки . Подразумевается, что эта окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Таким образом, при некотором фиксированном положительном значении , функция определена, по крайней мере на проколотой окрестности точки , и ее множество значений лежит в окрестности , на которой определена функция . Тем самым мы нашли такую окрестность точки :
,
на которой определена сложная функция .

2. Теперь покажем, что
.

Перепишем неравенства (2.1) и (2.2), справедливые для любых и :
(2.1)     при  .
(2.2)     при  .

Возьмем произвольное положительное число . Тогда на основании (2.1) имеем:
  при  .
Поскольку , то из (2.2) следует, что
  при  .
Тогда
  при  .

Тем самым мы нашли такую функцию , при которой, для любого ,
  при  .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о пределе сложной функции

Формулировка ⇑

1. Покажем сначала, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой определена сложная функция .

Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши. Поскольку функция имеет предел в точке , то она определена на некоторой проколотой окрестности этой точки. И для любого , существует положительное число , зависящее от , так что для всех , принадлежащих проколотой σ - окрестности точки ,
(3.1)     при  .
Здесь конечно подразумевается, что зависимость выбрана таким способом, что окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Аналогичным образом, поскольку функция имеет предел в точке , то она определена на некоторой проколотой окрестности этой точки, и для любого , существует положительное число , зависящее от , так что для всех , принадлежащих проколотой δ - окрестности точки :
,
значения функции принадлежат σ - окрестности точки :
.
По условию теоремы, . Тогда значения функции принадлежат проколотой σ - окрестности точки :
(3.2)     при  .
Подразумевается, что окрестность лежит в окрестности , на которой определена функция .

Таким образом, при некотором фиксированном положительном значении , функция определена, по крайней мере на проколотой окрестности точки , и ее множество значений лежит в проколотой окрестности , на которой определена функция . Тем самым мы нашли окрестность точки :
,
на которой определена сложная функция .

2. Теперь покажем, что
.

Перепишем неравенства (3.1) и (3.2), справедливые для любых и :
(3.1)     при  ;
(3.2)     при  .

Возьмем произвольное положительное число . Тогда на основании (3.1) имеем:
  при  .
Поскольку , то из (3.2) следует, что
  при  .
Тогда
  при  .

Тем самым мы нашли такую функцию , при которой, для любого ,
  при  .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

.     Опубликовано: