Предел и непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции

Пусть функция t = g(x)  непрерывна в точке x₀.
И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t₀ = g(x₀).
Тогда сложная функция  f(g(x)) непрерывна в точке x₀.
Доказательство

Теорема о пределе непрерывной функции от функции

Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x₀, и он равен t₀:
lim_x → x0 g(x) = t₀.
Здесь точка x₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: x₀ ∈ R.
И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t₀.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t₀):
lim_x → x0  f (g(x)) =  f ( lim_x → x0 g(x) ) =  f (t₀).
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции

Пусть функции t = g(x)  и  y =  f (t) имеют пределы:
lim_x → x0 g(x) = t₀;
lim_t → t0  f (t) = y₀.
И пусть существует такая проколотая окрестность ^○U₀ (x₀) точки x₀, на которой
g(x) ≠ t₀;  x ∈ ^○U₀ (x₀).
Здесь x₀,  t₀,  y₀ – конечные или бесконечно удаленные точки: x₀, t₀, y₀ ∈ R.
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции  f (g(x)), и он равен y₀:
lim_x → x0  f (g(x)) = y₀.
Доказательство

Теорема о непрерывности сложной функции

Все теоремы Пусть функция t = g(x)  непрерывна в точке x₀.
И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t₀ = g(x₀).
Тогда сложная функция  f(g(x)) непрерывна в точке x₀.

1. Покажем сначала, что существует такая окрестность точки x₀, на которой определена сложная функция  f (g(x)).

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Поскольку функция  f (t) непрерывна в точке t₀, то она определена на некоторой окрестности U_f (t₀) этой точки, и имеется такая функция σ = σ(ε) > 0, так что для любого ε > 0,
(1.1)    |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
Здесь конечно подразумевается, что функция σ(ε) выбрана так, что окрестность {t :  | t – t₀ |  < σ(ε)} принадлежит области определения функции  f (t).

Поскольку функция g(x) непрерывна в точке x₀, то она определена на некоторой окрестности U_g (x₀) этой точки, и имеется такая функция δ = δ(σ) > 0, так что для любого σ > 0,
(1.2)    | g(x) – g(x₀) |  < σ  при   | x – x₀ |  < δ(σ).
Здесь также подразумевается, что окрестность {x :  | x – x₀ |  < δ(σ)} лежит в области определения функции g(x).

Таким образом, при некотором фиксированном положительном значении ε, функция t = g(x) определена, по крайней мере на окрестности {x :  | x – x₀ |  < δ(σ(ε))} точки x₀, и ее множество значений лежит в окрестности {t :  | t – t₀ |  < σ(ε)}, на которой определена функция  f (t). Поэтому существует такая окрестность точки x₀:
{x :  | x – x₀ |  < δ(σ(ε))},
на которой определена сложная функция  f (g(x)).

2. Теперь покажем, что
lim_x → x0  f (g(x)) =  f (g(x₀)).

Перепишем неравенства (1.1) и (1.2), справедливые для любых ε > 0 и σ > 0:
(1.1)    |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
(1.2)    | g(x) – g(x₀) |  < σ  при   | x – x₀ |  < δ(σ).

Возьмем произвольное положительное число ε > 0. Тогда на основании (1.1) имеем:
 |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
Поскольку t = g(x) и t₀ = g(x₀), то из (1.2) следует, что
 | t – t₀ |  < σ(ε)  при   | x – x₀ |  < δ(σ(ε)).
Тогда
 |  f (g(x)) –  f (g(x₀)) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ(σ(ε)).

Тем самым мы нашли такую функцию δ₁ (ε) = δ(σ(ε)), при которой, для любого ε > 0,
 |  f (g(x)) –  f (g(x₀)) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ₁ (ε).
Это означает, что
lim_x → x0  f (g(x)) =  f (g(x₀)).

Теорема доказана.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции

Все теоремы Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x₀, и он равен t₀:
lim_x → x0 g(x) = t₀.
Здесь точка x₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: x₀ ∈ R.
И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t₀.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t₀):
lim_x → x0  f (g(x)) =  f ( lim_x → x0 g(x) ) =  f (t₀).

1. Покажем сначала, что существует такая проколотая окрестность точки x₀, на которой определена сложная функция  f (g(x)).

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Поскольку функция  f (t) непрерывна в точке t₀, то она определена на некоторой окрестности U_f (t₀) этой точки, и имеется такая функция σ = σ(ε) > 0, так что для любого ε > 0,
(2.1)    |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
Здесь конечно подразумевается, что окрестность {t :  | t – t₀ |  < σ(ε)} лежит в окрестности U_f (t₀), на которой определена функция  f (t).

Воспользуемся определением предела функции в точке по Коши. Поскольку функция g(x) имеет предел t₀ в точке x₀ ∈ R, то она определена на некоторой проколотой окрестности ^○U_g (x₀) этой точки, и для любого σ > 0, существует положительное число δ = δ(σ) > 0, зависящее от σ, так что
(2.2)    | g(x) – t₀ |  < σ  при  x ∈ ^○U(x₀, δ(σ)).
Здесь ^○U(x₀, δ(σ)) означает проколотую δ - окрестность точки x₀. Подразумевается, что эта окрестность лежит в окрестности ^○U_g (x₀), на которой определена функция g(x).

Таким образом, при некотором фиксированном положительном значении ε, функция t = g(x) определена, по крайней мере на проколотой окрестности ^○U(x₀, δ(σ)) точки x₀, и ее множество значений лежит в окрестности {t :  | t – t₀ |  < σ(ε)}, на которой определена функция  f (t). Тем самым мы нашли такую окрестность точки x₀:
^○U(x₀, δ(σ(ε))),
на которой определена сложная функция  f (g(x)).

2. Теперь покажем, что
lim_x → x0  f (g(x)) =  f ( lim_x → x0 g(x) ) =  f (t₀).

Перепишем неравенства (2.1) и (2.2), справедливые для любых ε > 0 и σ > 0:
(2.1)    |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
(2.2)    | g(x) – t₀ |  < σ  при  x ∈ ^○U(x₀, δ(σ)).

Возьмем произвольное положительное число ε > 0. Тогда на основании (2.1) имеем:
 |  f (t) –  f (t₀) |  < ε  при   | t – t₀ |  < σ(ε).
Поскольку t = g(x), то из (2.2) следует, что
 | t – t₀ |  < σ(ε)  при  x ∈ ^○U(x₀, δ(σ(ε))).
Тогда
 |  f (g(x)) –  f (t₀) |  < ε  при  x ∈ ^○U(x₀, δ(σ(ε))).

Тем самым мы нашли такую функцию δ₁ (ε) = δ(σ(ε)), при которой, для любого ε > 0,
 |  f (g(x)) –  f (t₀) |  < ε  при  x ∈ ^○U(x₀, δ₁ (ε)).
Это означает, что
lim_x → x0  f (g(x)) =  f (t₀).

Теорема доказана.