Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую. Доказательство теоремы. Пример решения задачи.

Теорема

Доказательство

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz. Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B. Пусть (x_A, y_A, z_A) и (x_B, y_B, z_B) – координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t. Дифференцируя по времени, получаем проекции скоростей точек.
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние |AB| между точками остается постоянным, то есть не зависит от времени t. Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t, применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2.
(1)  

Введем вектор
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов.
(2)  
Выполняем преобразования.
;
(3)   .
По свойству скалярного произведения
,
.
Подставляем в (3) и сокращаем на |AB|.
;

Что и требовалось доказать.

Относительная скорость

Рассмотрим движение точки B относительно точки A. Введем относительную скорость точки B относительно A.

Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
.

То есть относительная скорость перпендикулярна вектору , проведенному из точки A в точку B. Поскольку точка B взята произвольным образом, то относительная скорость любой точки твердого тела перпендикулярна радиус вектору, проведенному из точки A. То есть относительно точки A тело совершает вращательное движение. Относительная скорость точек тела определяется по формуле для вращательного движения
.

Точку A, относительно которой рассматривают движение, часто называют полюсом.

Абсолютную скорость точки B относительно неподвижной системы координат можно записать в следующем виде:
.
Она равна сумме скорости поступательного движения произвольной точки A (полюса) и скорости вращательного движения относительно полюса A.

Пример решения задачи

Колеса 1 и 2 с радиусами R₁ = 0,15 м и R₂ = 0,3 м, соответственно, соединены шарнирами со стержнем 3 длины |AB| = 0,5 м. Колесо 1 вращается с угловой скоростью ω₁ = 1 рад/с. Для изображенного на рисунке положения механизма, определить угловую скорость ω₂ колеса 2. Принять L = 0,3 м.

Решение задачи

Точка A движется по окружности радиуса R₁ вокруг центра вращения O₁. Скорость точки A определяется по формуле
V_A = ω₁R₁.
Вектор направлен вертикально (перпендикулярно O₁A).

Точка B движется по окружности радиуса R₂ вокруг центра вращения O₂. Скорость точки B определяется по формуле
V_B = ω₂R₂.
Отсюда
.
Вектор направлен горизонтально (перпендикулярно O₂B).

Строим прямоугольный треугольник ABC. Применяем теорему Пифагора.
(м)
Косинус угла между вектором скорости и прямой AB, в направлении вектора , равен
.
Косинус угла между вектором скорости и прямой AB, в направлении вектора , равен
.

По теореме о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую имеем:
V_A cos α = V_B cos β.
Отсюда
.

Находим угловую скорость колеса 2.
рад/с.

Ответ

ω₂ = 0,667 рад/с

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 07-10-2015