Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вычисление интегралов от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена

Представлен метод вычисления интегралов, в числителе дроби которых - многочлен, а в знаменателе - произведение натуральной степени от линейной функции и квадратный корень из квадратного трехчлена. Разобраны примеры вычислений таких интегралов.

Метод интегрирования

Рассмотрим интеграл от дроби, в числителе которой стоит многочлен степени m, а в знаменателе - целая положительная степень от линейной функции и квадратный корень из квадратного трехчлена:
.
Здесь n - натуральное число.

Если m ≥ n, то у дроби     следует выделить целую часть, после чего интеграл разбивается на два интеграла. Один - без степенной функции в знаменателе:

Второй - исходного типа с правильной дробью:
,

Подстановкой   t = (x – α)–1 этот интеграл приводится к интегралу вида:
.
Таким образом, вычисление исходных интегралов сводится к вычислению интегралов вида
,
метод интегрирования которых разобран на странице
Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена > > >.

Важное замечание

При вычислении подобных интегралов, после подстановки, приходится извлекать квадратный корень из квадрата: . При этом нужно иметь в виду, что . То есть, при t > 0, |t| = t, при t < 0, |t| = – t. Поэтому при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t < 0. Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0, а нижний - к случаю t < 0. При обратном преобразовании к переменной x, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.

Также возможен второй подход, в котором мы не следим за знаком подкоренного выражения, а получаем многозначную комплексную функцию. Более подробно см здесь > > >.

Полезная формула

Отметим полезную формулу, которую стоит помнить, выполняя преобразования:

В частности, при σ = 1,

Для доказательства, применим формулу:
(a – b)(a + b) = a 2 – b 2
Положим a = τ, .

Приравняем модули и логарифмируем:
;
;
Отсюда

Простые примеры

Здесь рассмотрим два простых примера, демонстрирующих извлечение квадратного корня из квадрата, и влияние этой операции на конечный результат.

Пример 1

Вычислим интеграл





Здесь верхний знак соответствует значениям x > 0. Нижний – значениям x < 0.

Таким образом, при x > 0

При x < 0
;

Постоянную ln a 2 включим в C. В результате получаем выражение для интеграла в виде одной формулы, справедливой как для x > 0, так и для x < 0:

Пример 2

Вычислим интеграл




Здесь верхний знак соответствует значениям x > 0. Нижний - значениям x < 0.

Таким образом, если, для рассматриваемых интегралов, ответ выражается через арксинусы, то появляется знак модуля.

Более сложный пример

Вычислить интеграл:

Решение

Здесь дробь правильная, поэтому выделять целую часть не нужно.

Делаем подстановку t = (x – 1) -1. Для этого выполняем преобразования.
;

Здесь .
Извлекаем корень.

Далее будем считать, что верхний знак соответствует значениям x – 1 > 0 или, что тоже что, t > 0. Нижний знак - значениям x – 1 < 0 (t < 0).

Подставляем.


Решаем методом неопределенных коэффициентов. Ищем решение в виде:

Дифференцируем по t.

;
;
;
;
2A = – 1, A = – 1/2, A + B = – 1, B = – 1 – A = – 1/2.

Итак, мы нашли:
.

Вычисляем оставшийся интеграл.
;
;


.
Здесь мы постоянную     включили в C.

Переходим к переменной x, используя полученную ранее формулу:   .




.
Здесь мы постоянную     включили в C.

Окончательно имеем:
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено: