Производная произведения двух функций
Формула производной произведения двух функций
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и имеют в точке x0 производные. Тогда их произведение u(x)v(x) имеет в точке x0 производную, которая определяется по формуле:
(1) (uv) ′ = u ′v + uv ′.
Доказательство
Введем обозначения:
Δu = u(x0 + Δx) – u(x0);
Δv = v(x0 + Δx) – v(x0).
Здесь Δu и Δv являются функциями от переменных x0 и Δx. Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.
Далее замечаем, что
u(x0 + Δx) = u(x0) + u(x0 + Δx) – u(x0) = u(x0) + Δu;
v(x0 + Δx) = v(x0) + v(x0 + Δx) – v(x0) = v(x0) + Δv.
По условию функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке x0, которые являются следующими пределами:
u ′(x0) = limΔx → 0 u(x0 + Δx) – u(x0)Δx = limΔx → 0 ΔuΔx;
v ′(x0) = limΔx → 0 v(x0 + Δx) – v(x0)Δx = limΔx → 0 ΔvΔx.
Из существования производных следует, что функции u = u(x) и v = v(x) непрерывны в точке x0. Поэтому
limΔx → 0 Δu = 0;
limΔx → 0 Δv = 0.
Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является произведением функций u и v:
y(x) = u(x) v(x).
Рассмотрим приращение этой функции в точке x0:
Δy = y(x0 + Δx) – y(x0) = u(x0 + Δx) v(x0 + Δx) – u(x0) v(x0) =
(u(x0) + Δu ) (v(x0) + Δv ) – u(x0) v(x0) =
u(x0) v(x0) + u(x0) Δv + Δu v(x0) + Δu Δv – u(x0) v(x0) =
Δu v(x0) + u(x0) Δv + Δu Δv.
Теперь находим производную:
y ′(x0) = limΔx → 0 ΔyΔx = limΔx → 0Δu v(x0) + u(x0) Δv + Δu ΔvΔx=
limΔx → 0 ΔuΔx ⋅ v(x0) + u(x0) ⋅ limΔx → 0 ΔvΔx + limΔx → 0 ΔuΔx ⋅ limΔx → 0Δv=
u ′(x0) ⋅ v(x0) + u(x0) ⋅ v ′(x0) + u ′(x0) ⋅ 0 = u ′(x0) ⋅ v(x0) + u(x0) ⋅ v ′(x0).
Итак,
y ′(x0) = u ′(x0) ⋅ v(x0) + u(x0) ⋅ v ′(x0).
Правило доказано.
Вместо переменной x0 можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные u ′(x) и v ′(x), то производная произведения двух функций определяется по формуле:
(u(x) ⋅ v(x)) ′ = u ′(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v ′(x).
Или в более короткой записи
(1) (uv) ′ = u ′v + uv ′.
Следствие
Пусть u, v, w, z являются функциями от независимой переменной x. Тогда
(u v w ) ′ = u ′v w + u v ′w + u v w ′;
(u v w z ) ′ = u ′v w z + u v ′w z + u v w ′z + u v w z ′;
и т. д. ...
Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций u и v w, а затем – для функций v и w:
(u v w ) ′ = (u ⋅ (v w)) ′ = u ′ ⋅ (v w) + u ⋅ (v w) ′ = u ′ v w + u ⋅ (v ′ w + v w ′) =
u ′v w + u v ′w + u v w ′.
Аналогично доказываются другие подобные формулы.
Примеры
Все примеры Далее рассмотрены примеры вычисления производных от следующих функций:
y(x) = x sin x y(x) = e x ( x 2 – 2x + 2 ) y(x) = e x (sin x – cos x)
Пример 1
Все примеры Найдите производную
y(x) = x sin x.
Решение
Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1) (uv) ′ = u ′v + uv ′.
y ′ = (x sin x) ′ = (x) ′ sin x + x(sin x) ′.
Из таблицы производных находим:
(x a) ′ = ax a – 1;
(sin x) ′ = cos x.
Тогда
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1.
Окончательно имеем:
y ′ = (x) ′ sin x + x(sin x) ′ = 1 ⋅ sin x + x cos x.
Ответ
y ′(x) = sin x + x cos x.
Пример 2
Все примеры Найти производную функции от переменной x
y(x) = e x ( x 2 – 2x + 2 ).
Решение
Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1) (uv) ′ = u ′v + uv ′.
y ′ = ( e x ( x 2 – 2x + 2 ) ) ′ = ( e x ) ′( x 2 – 2x + 2 ) + e x ( x 2 – 2x + 2 ) ′.
Применяем формулу производной суммы и разности функций:
(u ± v ± w) ′ = u ′ ± v ′ ± w ′.
( x 2 – 2x + 2 ) ′ = ( x 2 ) ′ – (2x) ′ + (2) ′.
Применяем правила дифференцирования постоянных:
(C) ′ = 0;
(Cu) ′ = Cu ′.
(2x) ′ = 2(x) ′;
(2) ′ = 0.
Из таблицы производных находим:
( e x ) ′ = e x;
( x a ) ′ = ax a – 1.
Тогда
( x 2 ) ′ = 2x 2 – 1 = 2x 1 = 2x;
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1;
( x 2 – 2x + 2 ) ′ = ( x 2 ) ′ – 2(x) ′ + (2) ′ = 2x – 2 + 0.
Окончательно имеем:
y ′ = ( e x ) ′( x 2 – 2x + 2 ) + e x ( x 2 – 2x + 2 ) ′ = e x ( x 2 – 2x + 2 ) + e x ( 2x – 2 ) =
x 2 e x – 2xe x + 2e x + 2xe x – 2e x = x 2 e x.
Ответ
y ′(x) = x 2 e x.
Пример 3
Все примеры Найти производную функции
y(x) = e x (sin x – cos x).
Решение
Последовательно применяем правила дифференцирования.
( e x ) ′ = e x;
(sin x) ′ = cos x;
(cos x) ′ = –sin x;
(sin x – cos x) ′ = (sin x) ′ – (cos x) ′ = cos x + sin x;
y ′ = ( e x (sin x – cos x) ) ′ = ( e x ) ′(sin x – cos x) + e x (sin x – cos x) ′ =
e x (sin x – cos x) + e x (cos x + sin x) = 2e x sin x.
Ответ
y ′ = 2e x sin x.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: