Формула производной суммы (разности) функций
Пусть функции и дифференцируемы в некоторой точке x. Тогда, в этой точке определена производная от суммы (разности) этих функций, и она равна сумме (разности) производных функций:
(1) .
Доказательство
Поскольку функции и дифференцируемы в точке x, то существуют следующие пределы, которые являются производными этих функций:
;
.
Рассмотрим функцию y, которая является суммой функций и :
.
Она определена в некоторой окрестности точки x. Покажем, что она имеет производную, и найдем ее.
.
Тем самым мы доказали, что производная от суммы функций равна сумме производных:
.
Тем же способом можно показать, что производная от разности функций равна разности производных:
.
Это можно показать и другим способом, применяя только что доказанное правило дифференцирования суммы и правило вынесения постоянной за знак производной:
.
Эти два правила можно записать в виде одного уравнения:
(1) .
Следствие
Выше мы рассмотрели правило нахождения производной от суммы двух функций. Это правило можно обобщить на сумму и разность от любого числа дифференцируемых функций.
Производная от суммы (разности) любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) их производных. С учетом правила вынесения постоянной за знак производной, это правило можно записать так:
.
Или в развернутом виде:
(2) .
Здесь – постоянные;
– дифференцируемые функции от переменной x.
Доказательство следствия
При n = 2, применим правило (1) и правило вынесения постоянной за знак производной. Имеем:
.
При n = 3 применим формулу (1) для функций и :
.
Для произвольного числа n применим метод индукции. Пусть уравнение (2) выполняется для . Тода для имеем:
.
То есть из предположения, что уравнение (2) выполняется для следует, что уравнение (2) выполняется для . А поскольку уравнение (2) выполняется для , то оно выполняется для всех .
Следствие доказано.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим примеры вычислений производных суммы и разности с подробными решениями.
⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Найдите производную
.
Решение
Раскрываем скобки. Для этого применим формулу
.
Также используем свойства степенных функций.
;
;
.
Применяем формулу (2) для производной от суммы и разности функций.
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
;
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Пример 2
Все примеры ⇑ Найти производную от функции от переменной x
.
Решение
Приведем корни к степенным функциям.
.
Применяем правило дифференцирования суммы и разности.
.
Применяем формулы из таблицы производных.
;
;
;
;
;
.
Подставляем:
.
Приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы учли, что заданная функция определена при .
.
Ответ
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Найти производную функции
.
Решение
Преобразуем функцию. Для этого применим свойства степенной функции и корней:
;
;
;
.
Находим производную, применяя правило (2):
.
Здесь мы применили формулу из таблицы производных:
Ответ