Производная дроби из двух функций
Формула производной дроби
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и имеют в точке x0 производные. И пусть v(x0) ≠ 0. Тогда их частное u(x)v(x) имеет в точке x0 производную, которая определяется по формуле:
(1) ( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2.
Доказательство
Введем обозначения:
Δu = u(x0 + Δx) – u(x0);
Δv = v(x0 + Δx) – v(x0).
Здесь Δu и Δv являются функциями от переменных x0 и Δx. Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.
Далее замечаем, что
u(x0 + Δx) = u(x0) + u(x0 + Δx) – u(x0) = u(x0) + Δu;
v(x0 + Δx) = v(x0) + v(x0 + Δx) – v(x0) = v(x0) + Δv.
По условию функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке x0, которые являются следующими пределами:
u ′(x0) = limΔx → 0 u(x0 + Δx) – u(x0)Δx = limΔx → 0 ΔuΔx;
v ′(x0) = limΔx → 0 v(x0 + Δx) – v(x0)Δx = limΔx → 0 ΔvΔx.
Из существования производных следует, что функции u = u(x) и v = v(x) непрерывны в точке x0. Поэтому
limΔx → 0 Δu = 0;
limΔx → 0 Δv = 0.
Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является дробью из функций u и v:
y(x) = u(x)v(x).
Рассмотрим приращение этой функции в точке x0:
Δy = y(x0 + Δx) – y(x0) = u(x0 + Δx)v(x0 + Δx) – u(x0)v(x0) = u(x0) + Δuv(x0) + Δv – u(x0)v(x0).
Умножим на (v(x0) + Δv )v(x0):
Δy ⋅ (v(x0) + Δv )v(x0) = (u(x0) + Δu )v(x0) – u(x0)(v(x0) + Δv ) =
Δu v(x0) – u(x0) Δv.
Отсюда
Δy = Δu v(x0) – u(x0) Δv(v(x0) + Δv )v(x0).
Теперь находим производную:
y ′(x0) = limΔx → 0 ΔyΔx = limΔx → 0 ΔuΔx ⋅ v(x0) – u(x0) ⋅ ΔvΔx(v(x0) + Δv )v(x0) =
u ′(x0) ⋅ v(x0) – u(x0) ⋅ v ′(x0)(v(x0) + 0)v(x0) = u ′(x0) ⋅ v(x0) – u(x0) ⋅ v ′(x0)(v(x0)) 2.
Итак,
y ′(x0) = u ′(x0) ⋅ v(x0) – u(x0) ⋅ v ′(x0)(v(x0)) 2.
Формула доказана.
Вместо переменной x0 можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные u ′(x) и v ′(x), причем v(x) ≠ 0, то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
( u(x)v(x) ) ′ = u ′(x) ⋅ v(x) – u(x) ⋅ v ′(x)(v(x)) 2.
Или в более короткой записи
(1) ( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2.
Доказательство вторым способом
Рассмотрим уравнение
y = uv.
Здесь y, u и v есть функции от переменной x.
Умножим на v:
y ⋅ v = u.
Дифференцируем по переменной x, применяя формулу производной произведения двух функций:
y ′ ⋅ v + y ⋅ v ′ = u ′.
Отсюда находим искомую производную:
y ′ ⋅ v = u ′ – y ⋅ v ′ = u ′ – uv ⋅ v ′ = u ′v – u v ′v;
y ′ = u ′v – uv ′v 2.
Примеры
Все примеры Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной.
Ниже рассмотрены следующие примеры вычисления производных:
y(x) = ax + bcx + d y(x) = x 2 + x + 1x 2 – x + 1 y(x) = e x – 1e x + 1
Пример 1
Все примеры Найдите производную дроби
y(x) = ax + bcx + d,
где a, b, c, d – постоянные.
Решение
Применим правило дифференцирования суммы функций:
(ax + b) ′ = a(x) ′ + (b) ′.
Производная постоянной
(c) ′ = 0.
Из таблицы производных находим:
( x a ) ′ = ax a – 1.
Тогда
(x) ′ = ( x 1 ) ′ = 1 ⋅ x 1 – 1 = x 0 = 1;
(ax + b) ′ = a(x) ′ + (b) ′ = a + 0 = a.
Заменим a на c и b на d:
(cx + d) ′ = c.
Теперь находим производную дроби по формуле
( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2.
( ax + bcx + d ) ′ = 1(cx + d) 2 ⋅ [ (ax + b) ′(cx + d) – (ax + b)(cx + d) ′ ] =
a(cx + d) – (ax + b)c(cx + d) 2 = ad – bc(cx + d) 2.
Ответ
y ′(x) = ad – bc(cx + d) 2.
Пример 2
Все примеры Найти производную функции от переменной x
y(x) = x 2 + x + 1x 2 – x + 1.
Решение
Применяем правила дифференцирования, как в предыдущем примере.
( x 2 + x + 1 ) ′ = ( x 2 ) ′ + (x) ′ + (1) ′ = 2x + 1 + 0;
( x 2 – x + 1 ) ′ = ( x 2 ) ′ – (x) ′ + (1) ′ = 2x – 1 + 0.
Применяем правило дифференцирования дроби
( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2.
( x 2 + x + 1x 2 – x + 1 ) ′ =
1( x 2 – x + 1 ) 2 ⋅ [ ( x 2 + x + 1 ) ′( x 2 – x + 1 ) – ( x 2 + x + 1 )( x 2 – x + 1 ) ′ ] =
1( x 2 – x + 1 ) 2 ⋅ [ (2x + 1)( x 2 – x + 1 ) – ( x 2 + x + 1 )(2x – 1) ].
Раскрываем скобки.
(2x + 1)( x 2 – x + 1 ) – ( x 2 + x + 1 )(2x – 1) =
2x 3 – 2x 2 + 2x + x 2 – x + 1 – 2x 3 + x 2 – 2x 2 + x – 2x + 1 = –2x 2 + 2 = 2( 1 – x 2 ).
Ответ
y ′(x) = 2( 1 – x 2 )( x 2 – x + 1 ) 2.
Пример 3
Все примеры Найти производную дроби
y(x) = e x – 1e x + 1.
Решение
Из таблицы производных находим:
( e x ) ′ = e x.
Применяем правила дифференцирования суммы и постоянной.
( e x – 1 ) ′ = ( e x ) ′ – (1) ′ = e x – 0 = e x;
( e x + 1 ) ′ = ( e x ) ′ + (1) ′ = e x + 0 = e x.
Применяем формулу для производной дроби:
( uv ) ′ = u ′v – uv ′v 2;
( e x – 1e x + 1 ) ′ = 1( e x + 1 ) 2 ⋅ [ ( e x – 1 ) ′( e x + 1 ) – ( e x – 1 )( e x + 1 ) ′ ] =
1( e x + 1 ) 2 ⋅ [ e x ( e x + 1 ) – ( e x – 1 )e x ] = 2e x( e x + 1 ) 2.
Ответ
y ′ = 2e x( e x + 1 ) 2.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: