Производная постоянной функции (константы)

Производная постоянной (константы). Вынесение постоянной за знак производной. Примеры вычисления производных. Пример вычисления производной от функции, составленной из корней.

Правила дифференцирования функций, содержащих постоянные

Здесь мы рассмотрим следующие правила, связанные с дифференцированием функций, содержащих постоянные:
(1)   (C)^′ = 0;
(2)   ( Cu )^′ = Cu^′,
где C – постоянная, u – дифференцируемая функция от независимой переменной x:
u = u(x).

Вначале мы докажем эти правила. Затем приведем примеры вычисления производных.

Производная постоянной функции

Выясним, чему равна производная постоянной функции. Для этого применим определение производной:
(3)   y^′(x) = lim_{Δx → 0} y(x + Δx) – y(x)Δx.
Пусть функция y(x) является постоянной, которую обозначим как C:
y(x) = C.
То есть y не зависит от x. Значения переменной y одинаковы при любых значениях переменной x и равны C. Тогда
y(x + Δx) = y(x) = C;
y(x + Δx) – y(x) = C – C = 0;
y^′(x) = lim_{Δx → 0} y(x + Δx) – y(x)Δx = lim_{Δx → 0} 0Δx = 0.
То есть производная постоянной функции равна нулю:
(C)^′ = 0.

Вынесение постоянной за знак производной

Теперь докажем правило (2). То есть если u(x) является дифференцируемой функцией от переменной x (на некотором множестве ее значений), то при дифференцировании, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(2)   ( Cu )^′ = Cu^′.

Доказательство

Поскольку u(x) является дифференцируемой функцией, то существует производная этой функции:
u^′(x) = lim_{Δx → 0} u(x + Δx) – u(x)Δx.

Рассмотрим функцию от независимой переменной x следующего вида:
y(x) = Cu(x).
По определению производной
y^′(x) = lim_{Δx → 0} y(x + Δx) – y(x)Δx = lim_{Δx → 0} Cu(x + Δx) – Cu(x)Δx =
 lim_{Δx → 0} C( u(x + Δx) – u(x) )Δx = C lim_{Δx → 0} u(x + Δx) – u(x)Δx = Cu^′(x).

То есть
( Cu )^′ = Cu^′.
Что и требовалось доказать.

Примеры

Все примеры Проиллюстрируем применение рассмотренных правил (1) и (2). Далее будут рассмотрены примеры, в которых нужно найти производные функций, зависящих от переменной x.
y(x) = √ 3  ln 2 ⇓,   y(x) = 2e^√ 3 sin x ⇓,   y(x) = 2 ln x³ ⇓,   y(x) = 2 √ 3   e^x + 5 ⇓,   y(x) = ³√  x  √  2  √ x    ⇓.

Пример 1

Найти производную функции
y(x) = √ 3  ln 2.

Решение

Функция   y(x) = √ 3  ln 2   не содержит переменную x. Поэтому она является постоянной. Поскольку производная постоянной функции равна нулю, то производная заданной функции равна нулю:
y^′(x) = (  √ 3  ln 2 )^′ = 0.

Ответ

y^′(x) = 0.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x:
y(x) = 2e^√ 3 sin x.

Решение

Здесь 2e^√ 3 является постоянной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
y^′(x) = ( 2e^√ 3 sin x )^′ = 2e^√ 3 ( sin x )^′ = 2e^√ 3 cos x.

Ответ

y^′(x) = 2e^√ 3 cos x.

Пример 3

Найдите производную:
y(x) = 2 ln x³.

Решение

Применим свойство логарифма
ln x^p = p ln x.
Тогда
y(x) = 2 ln x³ = 2 ⋅ 3 ln x = 6 ln x.
Выносим постоянную 6 за скобки и применяем таблицу производных:
y^′(x) = (6 ln x)^′ = 6 (ln x)^′ = 6x.

Ответ

y^′(x) = 6x.

Пример 4

Продифференцировать функцию от переменной x:
y(x) = 2 √ 3   e^x + 5.

Решение

Применим свойство экспоненты
e^p + q = e^p ⋅ e^q.
Тогда
y(x) = 2 √ 3   e^x + 5 = 2 √ 3   e^x e⁵ = 2 √ 3   e⁵ e^x.
Но   2 √ 3   e⁵   является постоянной, не зависящей от переменной x величиной. Выносим ее за скобки и используем таблицу производных:
y^′(x) = ( 2 √ 3   e⁵ e^x )^′ = 2 √ 3   e⁵ ( e^x )^′ = 2 √ 3   e⁵ e^x.

Ответ

y^′(x) = 2 √ 3   e^x + 5.

Пример 5

Продифференцировать по переменной x функцию, состоящую из корней:
y(x) = ³√  x  √  2  √ x   .

Решение

Преобразуем корни в степенную функцию, применяя свойства корней:
2  √ x  = 2 x¹²;
√  2  √ x   = ( 2 x¹² )¹² = 2¹² ( x¹² )¹² = 2¹² x^{12 ⋅ 12} = 2¹² x¹⁴;
x  √  2  √ x   = x 2¹² x¹⁴ = 2¹² x¹⁴ x⁴⁴ = 2¹² x^14 + 44 = 2¹² x⁵⁴;
³√  x  √  2  √ x    = ( 2¹² x⁵⁴ )¹³ = ( 2¹² )¹³ ( x⁵⁴ )¹³ = 2^{12 ⋅ 13} x^{54 ⋅ 13} = 2¹⁶ x⁵¹²;
y(x) = ⁶√ 2  x⁵¹².

Выносим постоянную   ⁶√ 2    за скобки и применяем правило дифференцирования степенной функции из таблицы производных:
( x^a )^′ = ax^a – 1.
Тогда
y^′(x) = (  ⁶√ 2   x⁵¹² )^′ = ⁶√ 2   ( x⁵¹² )^′ = ⁶√ 2  ⋅ 512 x^{512 – 1} = 5  ⁶√ 2 12 x^– 712 = 5  ⁶√ 2 12 x^7 / 12 = 5  ⁶√ 2 12  ¹²√ x⁷ .
Приведем корни к одинаковой степени и упростим результат:
⁶√ 2  = 2¹⁶ = 2²¹² = 2^{2 ⋅ 112} = ( 2² )^1 / 12 = ¹²√ 4 .

Ответ

y^′(x) = 512 ¹²√ 4x⁷ .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 14-10-2016