Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, приводящиеся к уравнению Бернулли

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, приводящиеся к уравнению Бернулли
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, приводящихся к уравнению Бернулли.
Содержание
См. также:

К уравнению Бернулли приводятся уравнения вида:
(1)   y = xy ′ + x α  f (y ′ )  ; 
(2)   y = xy ′ + y α  f (y ′ )  . 
Эти уравнения решаются тем же способом, что и уравнение Лагранжа.

Решение уравнения (1)

Рассмотрим уравнение (1):
(1)   y = xy ′ + x α  f (y ′ )  . 
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что x ,  y ,  а также производная y ′ являются функциями от параметра t .  Положим
y ′ = t . 
Поставим в (1):
(3)   y = xt + x α  f (t )  . 
Продифференцируем по t  : 
(4)   dydt = dxdt t + x +  αx α – 1 dxdt  f (t )  + x α  f  ′(t )  . 
С другой стороны:
(5)   dydt = dydx dxdt = t dxdt  . 
Поставим (5) в (4) и преобразуем:
t dxdt = t dxdt + x +  αx α – 1 dxdt  f (t )  + x α  f  ′(t )  ; 
x + αx α – 1  f (t ) dxdt +  f  ′(t )  x α  = 0 . 
Разделим на αf (t ) x α – 1  .  При  f (t )  ≠ 0 уравнение принимает вид:
dxdt +  f  ′(t ) αf (t )  x + 1αf (t )  x 2 – α  = 0 . 

Это дифференциальное уравнение Бернулли относительно x .  Решая его, получаем зависимость x (t )  .  Вместе с уравнением
(3)   y = xt + x α  f (t ) 
оно дает параметрическое представление решения уравнения (1).

Дополнительные решения

В процессе приведения к уравнению Бернулли, мы разделили уравнение на  f (t )  и далее рассматривали решение при  f (t )  ≠ 0 .  В заключении следует рассмотреть случай  f (t )  = 0 .  То есть мы должны исключить параметр t из уравнений:
 f (t )  = 0 ; 
y = xt + x α  f (t )  . 

Поставим в последнее уравнение  f (t )  = 0 .  Тогда уравнение (1) может иметь дополнительные решения, которые определяются из системы уравнений:
{ 
y = xt
 f (t )  = 0
 

То есть дополнительные решения имеют вид:
y = tk x , 
где tk  – корни уравнения
 f (tk )  = 0 . 

Решение уравнения (2)

Аналогично решается уравнение (2):
(2)   y = xy ′ + y α  f (y ′ )  . 
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр t .  Положим
y ′ = t ; 
Поставим в (2):
(6)   y = xt + y α  f (t )  . 
Продифференцируем по t  : 
(7)   dydt = dxdt t + x +  αy α – 1 dydt  f (t )  + y α  f  ′(t )  . 
С другой стороны:
(5)   dydt = dydx dxdt = t dxdt  . 
Поставим (5) в (7) и преобразуем:
t dxdt = t dxdt + x +  αy α – 1 dydt  f (t )  + y α  f  ′(t )  ; 
(8)   x + αy α – 1  f (t ) dydt +  f  ′(t )  y α  = 0 . 
Из (6), при t ≠ 0 имеем:
(9)   x = yt – y α  f (t ) t  . 
Поставим (9) в (8):
yt – y α  f (t ) t +  αy α – 1  f (t ) dydt +  f  ′(t )  y α  = 0 . 
Делим на αy α – 1  f (t )  .  При  f (t )  ≠ 0 ,  и возможно при y ≠ 0 ,  уравнение принимает вид:
dydt + tf  ′(t )  –  f (t ) αtf (t )  y +  1αtf (t )  y 2 – α  = 0 . 

Это дифференциальное уравнение Бернулли относительно y .  Решая его, получаем зависимость y (t )  .  Вместе с уравнением
(9)   x = yt – y α  f (t ) t 
оно дает параметрическое представление решения уравнения (2).

В процессе приведения к уравнению Бернулли, мы разделили уравнение на tf (t )  y α – 1  .  Поэтому решение справедливо при tf (t )  y α – 1  ≠ 0 .  В заключении следует рассмотреть случай tf (t )  y α – 1  = 0 .  Решая систему
{ 
tf (t )  y α – 1  = 0
y = xt + y α  f (t ) 
 

мы можем получить дополнительные решения.

Связь уравнений (1) и (2)

В заключение заметим, что уравнение вида (2) приводится к уравнению вида (1) заменой:
x → y;  y → x . 
Действительно, перепишем уравнение (2):
(2)   y = xy ′ + y α  f (y ′ )  . 
x = yy ′ – y α  f (y ′ ) y ′ =  ydydx  – y α  f (dydx ) dydx  =  y dxdy – y α dxdy  f ( 1dxdy   )  . 
Поменяем местами x и y  : 
y = xy ′ – x α y ′ f ( 1y ′  )  . 

Это уравнение вида (1). Как видно, при этом нужно заменить функцию  f   : 
 f (s )  →  – sf ( 1s  )  . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

См. также:
▲
Меню