Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным
Метод решения
К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1) z ′(y ) dydx + p (x ) z (y ) = q (x ) ,
где z – функция от y ; p и q – функции от x .
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
z ′(y ) dydx = dzdy dydx = dzdx .
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z :
dzdx + p (x ) z = q (x ) .
Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x
Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y. То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x , а не y . В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2) (P (y ) x + Q (y ) ) y ′ = R (y ) ,
где P, Q, R –функции от y .
Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x . Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
y ′ = dydx .
Тогда уравнение (2) примет вид:
(P (y ) x + Q (y ) ) dydx = R (y ) .
Умножаем на dxdy и выполняем алгебраические преобразования:
P (y ) x + Q (y ) = R (y ) dxdy ;
R (y ) dxdy – P (y ) x = Q (y ) .
Разделив на R(y) , приводим уравнение к виду:
dxdy + p (y ) x = q (y ) ,
где p (y ) = – P (y ) R (y ) , q (y ) = Q (y ) R (y ) .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.
Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка
Решить уравнение:
(П.1) (x 2 + y 2 + 2y – 2x ) y ′ = 2(1 – x ) .
Решение
Подставим y ′ = dydx в (П.1):
(x 2 + y 2 + 2y – 2x ) dydx = 2(1 – x ) .
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y . Умножим на dxdy :
(П.2) x 2 + y 2 + 2y – 2x = 2(1 – x ) dxdy .
Делаем подстановку:
z = 2x – x 2 .
Здесь z – сложная функция от y , z = z (x (y ) ) .
Дифференцируем по y . По правилу дифференцирования сложной функции:
dzdy = dzdx dxdy = ( 2x – x 2 ) ′x dxdy = (2 – 2x ) dxdy = 2(1 – x ) dxdy .
Подставляем в (П.2):
y 2 + 2y – z = dzdy ;
dzdy + z = y 2 + 2y .
Это линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e y :
dzdy e y + z e y = (y 2 + 2y ) e y ;
dzdy e y + z e y = dzdy e y + z d e y dy = d ( z e y ) dy ;
d ( z e y ) dy = (y 2 + 2y ) e y .
Интегрируем по частям:
z e y = ∫ ( y 2 + 2y ) e y dy = ∫ ( y 2 + 2y ) d e y = ( y 2 + 2y ) e y – ∫ ( y 2 + 2y ) ′ e y dy =
( y 2 + 2y ) e y – ∫ ( 2y + 2 ) e y dy ;
∫ ( 2y + 2 ) e y dy = 2 ∫ ( y + 1 ) d e y = 2( y + 1 ) e y – 2 ∫ ( y + 1 ) ′ e y dy =
2( y + 1 ) e y – 2 ∫ e y dy = 2( y + 1 ) e y – 2e y ;
z e y = ( y 2 + 2y ) e y – 2( y + 1 ) e y + 2e y – C = y 2 e y – C ;
z e y = y 2 e y – C .
Переходим к переменной x :
z = 2x – x 2 ;
(2x – x 2 ) e y = y 2 e y – C .
Ответ
(x 2 + y 2 – 2x ) e y = C .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: