Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения
- Дифференциальное уравнение Бернулли
- – это уравнение вида:
y ′ + p (x ) y + q (x ) y n = 0 , где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q – функции от x .
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) y ′ + p (x ) y + q (x ) y n = 0 ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q – функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2) y – n y ′ + p (x ) y – n + 1 + q (x ) = 0 .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
z = y – n + 1 .
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
dzdx = dzdy dydx = ( y – n + 1 ) ′y y ′ = (– n + 1 ) y – n y ′ = (1 – n ) y – n y ′ ;
y – n y ′ = 11 – n dzdx .
Подставим в (2) и преобразуем:
11 – n dzdx + p (x ) z + q (x ) = 0 ;
dzdx + (1 – n ) p (x ) z + (1 – n ) q (x ) = 0 .
Это – линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v – функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1):
u ′v + uv ′ + p (x ) uv + q (x ) u n v n = 0 ;
(3) u ′v + u ( v ′ + p (x ) v ) + q (x ) u n v n = 0 .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) v ′ + p (x ) v = 0 .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v(x) . Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
u ′v + q (x ) v n u n = 0 ;
u ′ + q (x ) v n – 1 u n = 0 .
Здесь v – уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .
Примеры решений дифференциального уравнения Бернулли
Пример 1
Решить уравнение
(П1.1) xy ′ + y = y 2 x 5
Решение
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Решаем его методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: y = u ⋅ v . Тогда
y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ . Подставляем в (П1.1):
x (u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ ) + u ⋅ v = u 2 v 2 x 5 ;
(П1.2) xvu ′ + u (xv ′ + v ) = u 2 v 2 x 5 .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П1.3) xv ′ + v = 0 .
Тогда подставляя (П1.3) в (П1.2), мы получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
(П1.4) xvu ′ = u 2 v 2 x 5 .
Сначала мы определим функцию v . Нам нужно найти любое, отличное от нуля, решение уравнения (П1.3). Решаем его. Для этого разделяем переменные и интегрируем.
x dvdx + v = 0 ;
dvv + dxx = 0 ;
∫ dvv + ∫ dxx = C ;
ln | v | + ln | x | = C ;
ln | vx | = C .
Отсюда | vx | = e C , или vx = ± e C . Возьмем решение с C = 0 и знаком ′плюс′. Тогда vx = 1 , или v = 1 / x .
Подставим v = 1 / x в (П1.4), разделяем переменные и интегрируем:
(П1.4) xvu ′ = u 2 v 2 x 5 ;
xx u ′ = u 2 x 5 x 2 ;
u ′ = u 2 x 3 ;
dudx = u 2 x 3 .
При u ≠ 0 имеем:
duu 2 – x 3 dx = 0 ;
∫ duu 2 – ∫ x 3 dx = C ;
– 1u – 14 x 4 = C ;
1u = – 14 x 4 – C ;
u = – 114 x 4 + C = – 4x 4 + 4C .
Итак, мы нашли функции u и v . Находим искомую функцию y :
y = uv = – 4x 4 + 4C ⋅ 1x = – 4x 5 + 4Cx .
Заменим постоянную интегрирования: 4C → C . Тогда общее решение исходного уравнения (П1.1) примет вид:
y = – 4x 5 + Cx .
Когда мы делили на u , то предполагали, что u ≠ 0 . Теперь рассмотрим случай u = 0 . Тогда y = uv = 0 . Нетрудно видеть, что постоянная функция y = 0 также является решением исходного уравнения (П1.1) ⇑.
Ответ
Общее решение уравнения: y = – 4x 5 + Cx .
Уравнение также имеет решение y = 0 .
Пример 2
Решить уравнение
(xy + x 2 y 3 ) y ′ = 1
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим в исходное уравнение y ′ = dydx и умножим на dxdy :
(xy + x 2 y 3 ) dydx = 1 ;
xy + x 2 y 3 = dxdy ;
(П2.1) dxdy – yx – y 3 x 2 = 0 .
Это – уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных (x вместо y). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v – функции от y . Дифференцируем по y :
dxdy = dudy v + u dvdy .
Подставим в (П2.1):
dudy v + u dvdy – yuv – y 3 u 2 v 2 = 0 ;
(П2.2) dudy v + u ( dvdy – yv ) – y 3 u 2 v 2 = 0 .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y) , удовлетворяющую уравнению:
(П2.3) dvdy – yv = 0 .
Разделяем переменные и интегрируем:
dvv = y dy ;
∫ dvv = ∫ y dy ;
ln | v | = 12 y 2 + C .
Поскольку нам нужно любое решение уравнения (П2.3), то положим C = 0 :
ln | v | = 12 y 2 ; | v | = e y 2 2 ; v = ± e y 2 2 .
Возьмем решение со знаком ′плюс′:
v = e y 2 2 .
Подставим в (П2.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П2.3)):
dudy v – y 3 u 2 v 2 = 0 ;
dudy – y 3 u 2 v = 0 ;
dudy = y 3 u 2 e y 2 2 .
Разделяем переменные и интегрируем. При u ≠ 0 имеем:
duu 2 = y 3 e y 2 2 dy ;
(П2.4) ∫ duu 2 = ∫ y 3 e y 2 2 dy + C ;
∫ duu 2 = ∫ u – 2 du = 1– 2 + 1 u – 2 + 1 = – u – 1 = – 1u .
Во втором интеграле делаем подстановку t = y 2 2 :
dt = 12 (y 2 ) ′ dy = 12 2y dy = y dy ;
∫ y 3 e y 2 2 dy = ∫ y 2 e y 2 2 y dy = ∫ 2te t dt = 2 ∫ te t dt .
Интегрируем по частям:
∫ te t dt = ∫ t de t = te t – ∫ e t dt = te t – e t = (t – 1 ) e t = ( y 2 2 – 1 ) e y 2 2 ;
∫ y 3 e y 2 2 dy = 2 ∫ te t dt = (y 2 – 2 ) e y 2 2 .
Подставляем в (П2.4):
– 1u = ( y 2 – 2 ) e y 2 2 + C .
Возвращаемся к переменной x :
– 1x = – 1uv = – 1u ⋅ 1v = ( y 2 – 2 ) e y 2 2 + Ce y 2 2 = y 2 – 2 + C e – y 2 2 ;
– 1x = y 2 – 2 + C e – y 2 2 ;
( y 2 – 2 + C e – y 2 2 ) x = – 1 .
Ответ
( y 2 – 2 + C e – y 2 2 ) x = – 1 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: