Методы решения физико-математических задач

Дифференциальное уравнение Якоби

Дифференциальное уравнение Якоби
Дано определение дифференциального уравнения Якоби и рассмотрен метод его решения.

Определение

Дифференциальное уравнение Якоби
– это уравнение вида
,
где – постоянные коэффициенты.

Метод решения

Рассмотрим уравнение Якоби:
(1)   .
Делаем подстановку:
.
Тогда:
;

.
Подставляем в (1):
.
Умножаем на и вводим обозначения:
.
Получаем:

Это уравнение можно записать в виде равенства нулю определителя:

Определитель равен нулю, если строки линейно зависимы. Тогда нужно положить:
(2)  
где t – новая вспомогательная переменная. Тем самым мы получили систему линейных уравнений, которая решается простыми методами. Решение этих уравнений дает три равенства с  ξ, η, ζ, t. Присоединив к ним формулы , мы получаем пять уравнений. Исключая из них ξ, η, ζ и t, найдем общий интеграл исходного уравнения (1).

В наиболее распространенном случае решение уравнений (2) дается равенствами:



Возводим их в степень ,  ,  , соответственно:



Перемножая эти равенства, и замечая, что

и вводя новую постоянную

получаем:

В каждом множителе выносим ζ за скобки. Поскольку
,
то, переходя к переменным x и y, получаем общий интеграл уравнения Якоби в виде:
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.     Опубликовано: