Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Определение

Пусть s(x) , q(x) – функции от переменной x ;
p(y) , r(y) – функции от переменной y .

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

– это уравнение вида s (x )  p (y )  y^′ + q (x )  r (y )  = 0

Метод решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение:
(i)   s (x )  p (y )  y^′ + q (x )  r (y )  = 0 . 
Выразим производную y′ через дифференциалы.
y^′ = dydx  ; 
s (x )  p (y )  dydx + q (x )  r (y )  = 0 . 
Умножим на dx .
(ii)   s (x )  p (y )  dy + q (x )  r (y )  dx = 0
Разделим уравнение на s(x) r(y) . Это можно сделать, если s(x) r(y) ≠ 0 . При s(x) r(y) ≠ 0 имеем
p (y )  dyr (y )  + q (x )  dxs (x )  = 0 . 
Интегрируя, получаем общий интеграл в квадратурах
(iii)   ∫ p (y )  dyr (y )  + ∫ q (x )  dxs (x )  = C . 

Поскольку мы делили на s(x) r(y) , то получили интеграл уравнения при s(x) ≠ 0 и r(y) ≠ 0 . Далее нужно решить уравнение
r(y) = 0 .
Если это уравнение имеют корни, то они также являются решениями уравнения (i). Пусть уравнение r(y) = 0 . имеет n корней a_i , r(a_i) = 0 , i = 1, 2, ... , n . Тогда постоянные y = a_i являются решениями уравнения (i). Часть этих решений может уже содержаться в общем интеграле (iii).

Заметим, что если исходное уравнение задано в форме (ii), то следует также решить уравнение
s(x) = 0 .
Его корни b_j , s(b_j) = 0 , j = 1, 2, ... , m . дают решения x = b_j .

Пример решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнение
y^′ = x^2  3√ y  

Решение

Выразим производную через дифференциалы:
y^′ = dydx 
dydx = x^2  3√ y  
Умножим на dx и разделим на   ³√ y   .  При y ≠ 0 имеем:
dy³√ y   = x²  dx
Интегрируем.
∫ dy³√ y   = ∫ x²  dx + C
Вычисляем интегралы, применяя формулу ∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1  . 
∫ dy³√ y   = ∫ y^{– 1 / 3}  dy =  1– 1 / 3 + 1 y^{– 1 / 3 + 1}  = 32 y²³ 
[ – 13 + 1 = – 1 + 33 = 23  ] 
∫ x²  dx = 12 + 1 x^2 + 1  = 13 x³ 
Подставляя, получаем общий интеграл уравнения
32 y²³  = 13 x³  + C . 

Теперь рассмотрим случай, y = 0 .
Очевидно, что y = 0 является решением исходного уравнения. Оно не входит в общий интеграл 32 y²³  = 13 x³  + C . 
Поэтому добавим его в окончательный результат.

Ответ

32 y²³  = 13 x³  + C ;    y = 0 .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 13-07-2012   Изменено: 20-02-2015