Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.

Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение
(i)   y^′ =  f (ax + by + c )  , 
где f – функция, a, b, c – постоянные, b ≠ 0 .
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Метод решения

Делаем подстановку:
u = ax + by + c
Здесь y – функция от переменной x . Поэтому u – тоже функция от переменной x .
Дифференцируем по x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Подставляем (i)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f(u)
Или:
(ii)   dudx = a + bf (u ) 
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на a + b f(u) . Если a + b f(u) ≠ 0 , то
dua + bf (u )  = dx
Интегрируя, мы получаем общий интеграл исходного уравнения (i) в квадратурах:
(iii)   ∫ dua + bf (u )  = ∫ dx = x + C . 

В заключении рассмотрим случай
(iv)   a + b f(u) = 0 .
Предположим, что это уравнение имеет n корней u = r_i , a + b f(r_i) = 0 , i = 1, 2, ... n . Поскольку функция u = r_i является постоянной, то ее производная по x равна нулю. Поэтому u = r_i является решением уравнения (ii).
Однако, уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением (i) и, возможно, не все решения u = r_i , выраженные через переменные x и y , удовлетворяют исходному уравнению (i).

Таким образом, решением исходного уравнения является общий интеграл (iii) и некоторые корни уравнения (iv).

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными

Решить уравнение
(1)   y^′ = (x – y ) ²  + 1

Решение

Делаем подстановку:
u = x – y
Дифференцируем по x и выполняем преобразования:
dudx = (x ) ^′ – y^′ = 1 – y^′ =  1 – ((x – y ) ²  + 1 )  =  – (x – y ) ²  = – u²  ; 
dudx = – u² 
Умножаем на dx и делим на u² .

Если u ≠ 0, то получаем:
duu²  = –  dx
Интегрируем:
∫ duu²  = – ∫ dx + C = – x + C
Применяем формулу из таблицы интегралов:
∫ xⁿ dx = 1n + 1 x^n + 1 
Вычисляем интеграл
∫ duu²  = ∫ u^– 2  du =  1– 2 + 1 u^{– 2 + 1}  = u^– 1  = – 1u 
Тогда
– 1u = – x + C ; 
u = 1x – C  ,  или
u = x – y = 1x – C 
Общее решение:
y = x – 1x + C  . 

Теперь рассмотрим случай u = 0, или u = x – y = 0 , или
y = x .
Поскольку y′ = (x)′ = 1 , то y = x является решением исходного уравнения (1).

Ответ

y = x – 1x + C  ; 
y = x . 

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 16-07-2012   Изменено: 22-02-2015