Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Изложен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли – введением двух функций. Рассмотрен пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
y^′ + p (x ) y = q (x ) 
Существует три способа решения этого уравнения:

• метод интегрирующего множителя;
• метод введения двух функций (Бернулли);
• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.

Метод введения двух функций (Бернулли)

Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v - функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
u^′v + uv^′ + p (x )  uv = q (x ) 
Выносим u за скобки:
(1)   u^′v + u (v^′ + p (x )  v )  = q (x ) 
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)   v^′ + p (x )  v = 0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dvdx + p (x )  v = 0
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v
dvv + p (x )  dx = 0
Интегрируем:
∫ dvv + ∫ p (x )  dx = C
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.
∫ dvv = ln  | v |  = – ∫ p (x )  dx
Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).
v = e^{– ∫ p (x )  dx} 
Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:
dudx ⋅ e^{– ∫ p (x )  dx} = q (x ) 
Отсюда
dudx = q (x )  e^{∫ p (x )  dx} 
Интегрируем
u = ∫ q (x )  e^{∫ p (x )  dx}  dx + C
Окончательно находим:
y = uv =  [ ∫ q (x )  e^{∫ p (x )  dx}  dx + C  ]  ⋅  e^{– ∫ p (x )  dx} = 
 C ⋅ e^{– ∫ p (x )  dx} +  e^{– ∫ p (x )  dx}  ∫ q (x )  e^{∫ p (x )  dx}  dx . 

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли

Решить уравнение
xy^′ + 3y = x²  . 

Решение

Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v - функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
x (u^′v + uv^′ )  + 3uv = x² 
Выносим u за скобки:
(3)   xu^′v + u (xv^′ + 3v )  = x² 
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)   xv^′ + 3v = 0 . 
Это уравнение с разделяющимися переменными,
x dvdx + 3v = 0 . 
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv :
dvv + 3 dxx = 0
Интегрируем:
∫ dvv + 3 ∫ dxx = C
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:
∫ dvv = ln  | v |  = – 3 ∫ dxx = – 3 ln  | x | 
Или
ln  | v |  = – 3 ln  | x | 
Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).
v = x^– 3 
Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:
x dudx x^– 3  = x² 
Отсюда
dudx = x⁴ 
Интегрируем, применяя формулу ∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1   : 
u = ∫ x⁴  dx = 14 + 1 x^4 + 1  + C =  15 x⁵  + C . 
Окончательно находим:
y = uv = ( 15 x⁵  + C  ) x^– 3  =  Cx^– 3  + 15 x²  . 

Ответ

Общее решение уравнения:
y = Cx³  + 15 x² 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 24-07-2012   Изменено: 27-02-2015