Методы решения физико-математических задач

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение Лагранжа
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Лагранжа. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения Лагранжа.
Дифференциальное уравнение Лагранжа
– это уравнение вида
.

Решение дифференциального уравнения Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа:
(1)   ,
где и – это функции.
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(2)   .
Продифференцируем по :
(3)   .
С другой стороны:
(4)   .
Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования:
;
.

Разделим на   . При уравнение принимает вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2):
.
В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).

Дополнительные решения дифференциального уравнения Лагранжа

В процессе приведения уравнения к линейному, мы разделили уравнение на . Поэтому мы рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай , то есть исключить параметр из уравнений:
(5)   ;
(6)   .

Уравнение (5) содержит только переменную t. Поэтому его нужно решить и определить корни. Если корней нет, то дополнительных решений также нет.

Предположим, что мы нашли корни уравнения (5) (один или несколько). Обозначим такой корень как :
(7)   .
Тогда уравнение (6) дает нам зависимость y от x, которая является линейной функцией:
.
Поскольку в силу (7), , то
(8)   .

Покажем, что (8) является решением исходного уравнения (1). Для этого найдем производную (8). Она равна постоянной:
.
Подставим (8) и в (1):
;
;
.
Это уравнение выполняется, поскольку в силу (7), .

Таким образом, мы нашли, что уравнение (1) может иметь решения
,
где – корни уравнения
.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)  

Решение

Разделим на . При имеем:
(1.2)   .
Это уравнение Лагранжа. Ищем решение в параметрическом виде. Считаем, что , , а также - это функции от параметра . Положим . Тогда
(1.3)   .

Чтобы упростить выкладки, умножим (1.3) на знаменатель дроби и продифференцируем по :
;
;
(1.4)   .
Далее имеем:
(1.5)   .
Поставляем (1.3) и (1.5) в (1.4) и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделим на . При ( или при и при ) имеем:
.

Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную . Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в .
.
Отсюда
;
.
Подставляем в (1.3):
.
Заменим постоянную :
.

Теперь рассмотрим значения , которые мы исключили из рассмотрения при выполнении операций деления. Для этого подставим эти значения в исходное уравнение (1.1),
(1.1)   .
Проверим, существует ли для этих значений дополнительные решения.

1) Подставим в (1.1):
.
Отсюда . Решение удовлетворяет исходному уравнению (1.1).

2) Подставим в (1.1):
;
.
Значение не удовлетворяет исходному уравнению. Отбрасываем его.

3) Подставим в (1.1):
;
;
.
Решение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ

Общее решение уравнения имеет вид:
;
;
.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню