Дифференциальные уравнения первого порядка, содержащие только производную

Рассмотрено решение дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих только производную. Приводится пример решения такого уравнения.

Метод решения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, содержащее, в явном виде, только производную:
(1)    f (y^′ )  = 0 . 
В этом уравнении производная y^′ является постоянной. Поэтому сначала находим корни уравнения:
(2)    f (a )  = 0 . 
Затем, для каждого корня a_i  ,  имеем:
y^′ = dydx = a_i  . 
Интегрируем:
y = ∫ a_i  dx + C_i  = a_i x + C_i  . 
Таким образом, мы получаем решения уравнения (1) в виде:
y = a_i x + C_i ,  i = 1, 2,... n , 
где n – это количество корней уравнения (2).

Пример решения уравнения, содержащего в явном виде только производную

Решить уравнение:
y^′ = e^y ′ sin y^′ . 

Решение

Рассмотрим уравнение:
a = e^a sin a . 
Оно имеет бесконечное множество корней, которые не выражаются в элементарных функциях. Для каждого корня получаем решение:
y = ax + C . 

Ответ

y = ax + C , 
где a – это корень уравнения
a = e^a sin a . 

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-08-2012   Изменено: 14-03-2016