Дифференциальное уравнение Риккати

Дано определение дифференциального уравнения Риккати. Рассмотрены его свойства, приведение к более простой форме и частные случаи решения.

Содержание

Дифференциальное уравнение Риккати: – это уравнение вида
y^′ + p (x ) y + q (x ) y² + r (x ) = 0 .

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) y^′ + p (x ) y + q (x ) y² + r (x ) = 0 .
Пусть известно его частное решение y₁ (x ) :
y^′₁ + p (x ) y₁ + q (x ) y₁ ² + r (x ) = 0
Тогда подстановкой y = y₁ + u уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли:
y^′₁ + u^′ + p (x ) (y₁ + u ) + q (x ) (y₁ + u ) ² + r (x ) = 0 ;
y^′₁ + u^′ + p (x ) (y₁ + u ) + q (x ) (y²₁ + 2y₁ u + u² ) + r (x ) = 0 ;
y^′₁ + p (x ) y₁ + q (x ) y₁ ² + r (x ) + u^′ + p (x ) u + q (x ) (2y₁ u + u² ) = 0 ;
0 + u^′ + (p (x ) + 2q (x ) y₁ ) u + q (x ) u² = 0 ;
u^′ + (p (x ) + 2q (x ) y₁ ) u + q (x ) u² = 0 .
Это уравнение Бернулли с n = 2 .

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

Произвольное преобразование независимого переменного:
x = φ (x₁ )
Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:
y = αy₁ + βγy₁ + δ

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:
y = Cφ₁ (x ) + φ₂ (x ) Cψ₁ (x ) + ψ₂ (x )
И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнения Риккати

Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) y^′ + p (x ) y + q (x ) y² + r (x ) = 0 .
Подстановкой
y = A y₁ q ,
где А – постоянная, оно приводится к виду:
(2) y^′₁ + p₁ y₁ + Ay₁ ² + r₁ = 0 ,
где p₁ = p – q^′q ; r₁ = r ⋅ qA .

Далее, подстановкой
y₁ = y₂ – p₁ 2A
оно приводится к виду:
(3) y^′₂ + Ay²₂ + r₂ = 0
где r₂ = r₁ – p^′₁ 2A – p²₁ 4A .

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида:
(4) y^′ + Ay² = Bx^m ,
где A, B – постоянные. Оно интегрируется при
m = – 4n2n + 1 ,
где n = ± 1, ± 2, ± 3... – целое.

Покажем это. Сделаем подстановку:
y = ux ; x^m + 2 = t ;
y^′ = dydx = dudx x – ux² = 1x ⋅ dudx – ux² .
Подставляем в (4):
1x ⋅ dudx – ux² + A u² x² = Bx^m .
Умножаем на x² :
(5) x ⋅ dudx – u + Au² = Bx^m + 2 = Bt .
Но
x ⋅ dudx = x^m + 2 dux^m + 1 dx = (m + 2 ) x^m + 2 dudx^m + 2 = (m + 2 ) t dudt = (m + 2 ) tu^′ .
Подставляем в (5):
(m + 2 ) tu^′ – u + Au² = Bt
Или
(6) tu^′ + αu + βu² = γt
где
α = – 1m + 2 ; β = Am + 2 ; γ = Bm + 2 .
Уравнение (6) интегрируется при
α = – 1 / 2 .
Для этого разделим его на u² и перепишем в следующем виде:
√ t ⋅ √ t u^′u² – 12 ⋅ 1u + β = γ tu² ;
– √ t ( √ t ( 1u ) ^′ + (√ t ) ^′ 1u ) + β = γ tu² ;
– √ t ( √ t u ) ^′ + β = γ ( √ t u ) ² .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При α ≠ – 12 уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.

Подстановкой u = tb + v , где b = 1 + αγ , оно преобразуется к виду: tv^′ + (α + 1 ) v + γv² = βt .
Подстановкой u = a + t / v , где a = – α / β , оно преобразуется к виду: tv^′ + (α – 1 ) v + γv² = βt

Таким образом, при α = n + 1 / 2 , где n - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 14-08-2012