Определение
- Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- – это уравнение вида
(1) ,
где – однородная функция относительно переменных , то есть обладающая свойством
.
Здесь – произвольная функция от переменных ; – постоянная.
Однородные дифференциальное уравнение первого порядка не меняют своего вида при замене
.
Для решения однородного уравнения, его нужно разрешить относительно производной. Тогда его можно записать в следующем виде:
(2) ,
где и – однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:
(3) .
Уравнения, разрешенные относительно производной можно выразить через одну функцию, зависящую от одной переменной:
(4) .
Действительно, разделив (2) на , при имеем.
.
Здесь мы воспользовались (3) и ввели функцию
.
Далее нужно рассмотреть случай
(5) ,
который мы отбросили при делении. Возможно, среди корней уравнения (5) будет решение уравнения (2), которого нет в (4). В этом смысле уравнения (2) и (4) не эквивалентны.
Также из (4) можно получить (2), умножив его на . При этом мы получим уравнение, в котором, возможно, появится решение , которого не было в (4). Поэтому такой переход также может быть не эквивалентным.
- Однородная функция
- Функция называется однородной, если она обладает следующим свойством:
(6) ,
где – функция от переменных ; – постоянная, которая называется показателем однородности.
- Показатель однородности
- – это показатель степени p в определении однородной функции (6).
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести множитель , и заменить x на tx и y на ty: . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение.
Если уравнение записано в форме дифференциалов, то нужно сделать замену и под знаками дифференциалов, считая при этом, что – постоянная. Если мы снова вернемся к производной, то она при таком преобразовании не изменится.
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным:
.
Решение
Делаем замену , где – постоянная. Считаем, что . Тогда
Делим на t 2.
.
Уравнение не содержит t. Следовательно, это однородное уравнение.
Методы решения однородного дифференциального уравнения
Уравнение, разрешенное относительно производной
(М1.1) , где
(М1.2) .
С помощью подстановки
оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными и интегрируется в квадратурах. Здесь u – функция от x.
Делаем подстановку:
,
где u - функция от x. Дифференцируем по x:
.
Подставляем в исходное уравнение (М1.1).
.
Применим (М1.2).
.
Разделим на , и выполним преобразования.
;
.
Разделим на , и введем функцию . При имеем.
;
;
(М1.3) .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные. Умножаем на и делим на .
При и получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл исходного уравнения в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C. Тогда ,
.
Снова заменим постоянную . Теперь она может принимать как положительные, так и отрицательные значения, отличные от нуля. Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (М1.3). Поскольку уравнение (М1.3) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (М1.1).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y), то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0. Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0.
Уравнение, не разрешенное относительно производной
(М2.1) ,
где
(М2.2) .
С помощью подстановок
оно приводится к уравнению, не содержащему независимую переменную в явном виде:
(М2.3) .
Делаем подстановку:
.
Дифференцируем по x:
.
Подставляем в (М2.1) и применяем (М2.2).
;
;
(М2.4) .
Делаем подстановку:
.
;
;
.
Подставляем в (М2.4) и вводим функцию .
;
;
(М2.3) .
Уравнение (М2.3) проще исходного уравнения (М2.1), поскольку не содержит независимую переменную в явном виде. Если из него можно выразить производную как функцию от , то получим уравнение с разделяющимися переменными. Если удастся выразить как функцию от , то решение сводится к квадратурам. В более общем случае, это уравнение можно попытаться решить параметрическим методом.
См. Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение
.
Решение
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty, x → tx, y′ → y′. Положим .
,
,
.
Сокращаем на t.
Множитель t сократился. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux, где u – функция от x.
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0, |x| = x. При x ≤ 0, |x| = – x. Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0, а нижний – к значениям x ≤ 0.
,
Умножаем на ± dx и делим на .
При u2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные,
.
Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2.
Положим a = u, .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.
Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C.
Умножаем на x и подставляем ux = y.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.
Теперь рассмотрим случай, u2 – 1 = 0.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
,
,
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.