Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Показано как определить, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Рассмотрены методы решений однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения.

Определение

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

– это уравнение вида
(1)    f (x, y, y^′ )  = 0 , 
где  f (x, y, y^′ )  – однородная функция относительно переменных x, y ,  то есть обладающая свойством
 f (tx, ty, y^′ )  = t^p  f (x, y, y^′ )  . 
Здесь t – произвольная функция от переменных x, y ;  p – постоянная.
Однородные дифференциальное уравнение первого порядка не меняют своего вида при замене
x → tx,  y → ty,  y^′ → y^′ . 

Если однородное уравнение удалось разрешить относительно производной, то оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными после подстановки
y = ux , 
где u – функция от x .
В более общем случае, оно приводится к уравнению, в явном виде не содержащему независимую переменную, после подстановок
y = ux,  x = e^t  . 

Однородные функции

Если однородное уравнение удалось разрешить относительно производной, то его можно записать в следующем виде:
(2)   M (x, y )  ⋅ y^′ + N (x, y )  = 0 , 
где M (x, y )  и N (x, y )  – однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:
(3)   M (tx, ty )  = t^p M (x, y ) ,   N (tx, ty )  = t^p N (x, y )  . 

Такие уравнения также можно выразить через одну произвольную функцию, зависящую от одной переменной:
(4)   y^′ = F ( yx  )  . 
Действительно, разделив (2) на M (x, y )  ,  при M (x, y )  ≠ 0 имеем.
y^′ = – N (x, y ) M (x, y )  = – N (x, x ⋅ yx ) M (x, x ⋅ yx )  =  – x^p N (1, yx ) x^p M (1, yx )  =  – N (1, yx ) M (1, yx )  = F ( yx  )  . 
Здесь мы воспользовались (3) и ввели функцию
F (t )  = – N (1, t ) M (1, t )   . 
Далее нужно рассмотреть случай
(5)   M (x, y )  = 0 , 
который мы отбросили при делении. Возможно, среди корней уравнения (5) будет решение уравнения (2), которого нет в (4). В этом смысле уравнения (2) и (4) не эквивалентны.

Умножив уравнение, записанное в форме (4) на M (x, y )  ,  получим уравнение в форме (2). При этом может появиться дополнительное решение M (x, y )  = 0 ,  которого не было в (4). Поэтому такой переход также может быть не эквивалентным.

Однородная функция

Функция h (x₁ , x₂ , . . ., x_N )  называется однородной, если она обладает следующим свойством:
(6)   h (tx₁ , tx₂ , . . ., tx_N )  =  t^p h (x₁ , x₂ , . . ., x_N )  , 
где t – функция от переменных tx₁ , tx₂ , . . ., tx_N  ;  p – постоянная, которая называется показателем однородности.

Показатель однородности

– это показатель степени p в определении однородной функции (6).

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести множитель t ,  и заменить x на tx и y на ty :   x → tx,  y → ty .  Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение.

Если уравнение записано в форме дифференциалов, то нужно сделать замену x → tx,  y → ty и под знаками дифференциалов, считая при этом, что t – постоянная. Если мы снова вернемся к производной, то она при таком преобразовании не изменится.
y^′ = dydx → d tyd tx = t dyt dx = dydx  . 

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным:
y dx + (2  √ xy  – x )  dy = 0 . 

Решение

Делаем замену x → tx,  y → ty ,  где t – постоянная. Считаем, что t > 0 .  Тогда
ty d  (tx )  + (2  √ txty  – tx )  d  (ty )  =  t² y dx + ( 2  √ t² xy  – tx  ) t dy = 
 t² y dx + t (2  √ xy  – x ) t dy =  t² y dx + t² (2  √ xy  – x )  dy = 0
Делим на t ² .

y dx + (2  √ xy  – x )  dy = 0 . 
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

Методы решения однородного дифференциального уравнения

Уравнение, разрешенное относительно производной

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y) , то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0 .

Уравнение, не разрешенное относительно производной

Уравнение (М2.3) проще исходного уравнения (М2.1), поскольку не содержит независимую переменную t в явном виде. Если из него можно выразить производную как функцию от u ,  то получим уравнение с разделяющимися переменными. Если удастся выразить u как функцию от u^′_t ,  то решение сводится к квадратурам. В более общем случае, это уравнение можно попытаться решить параметрическим методом.
См. Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение
xy^′ = y + √ y²  – x²    . 

Решение

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx , y′ → y′ . Положим t > 0 . 
txy^′ = ty + √ (ty ) ²  – (tx ) ²    , 
txy^′ = ty + √ t² (y²  – x² )    , 
txy^′ = ty + t  √ y²  – x²    . 
Сокращаем на t .
xy^′ = y + √ y²  – x²   
Множитель t сократился. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
xy^′ = y + √ y²  – x²    , 
x (u^′x + u )  = ux + √ (ux ) ²  – x²    , 
x² u^′ + ux = ux + √ x² (u²  – 1 )    , 
x² u^′ =  | x | √ u²  – 1  = ± x √ u²  – 1   . 
При x ≥ 0 ,   |x| = x . При x ≤ 0 ,   |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
x dudx = ± √ u²  – 1   , 
Умножаем на ± dx и делим на   x √ u²  – 1   . 

При u² – 1 ≠ 0 имеем:
± du√ u²  – 1   = dxx 
Интегрируем:
± ∫ du√ u²  – 1   = ∫ dxx 
Интегралы табличные,
± ln | u + √ u²  – 1   |  =  ln  | x |  + ln C = ln (Cx )  . 

Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a ² – b ² .
Положим a = u , b = √ u²  – 1   . 
( u + √ u²  – 1   ) ( u – √ u²  – 1   )  =  u²  – ( u²  – 1  )  = 1 . 
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
ln | u + √ u²  – 1   |  +  ln | u – √ u²  – 1   |  = ln (1 )  = 0 . 
Отсюда
± ln | u + √ u²  – 1   |  = ln | u ± √ u²  – 1   |  . 

Таким образом имеем:
ln | u ± √ u²  – 1   |  = ln (Cx )  , 
| u ± √ u²  – 1   |  = Cx . 
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .
u ± √ u²  – 1  = Cx
Умножаем на x и подставляем ux = y .
ux ± x √ u²  – 1  = y +  | x | √ u²  – 1  =  y + √ (ux ) ²  – x²   =  y + √ y²  – x²   = Cx²  , 
√ y²  – x²   = Cx²  – y . 
Возводим в квадрат.
y²  – x²  = ( Cx²  – y  ) ²  =  C² x⁴  – 2Cx² y + y²  , 
2Cx² y = C² x⁴  + x²  , 
y = C2 x²  + 12C  . 

Теперь рассмотрим случай, u² – 1 = 0.
Корни этого уравнения
u = yx = ± 1 . 
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

y = C2 x²  + 12C  , 
y = x , 
y = – x . 

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-07-2012   Изменено: 24-02-2024