Методы решения физико-математических задач

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Метод решения однородного дифференциального уравнения 1-го порядка
Показано как определить, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Рассмотрены методы решений однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения.

Определение

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
– это уравнение вида
(1)   ,
где – однородная функция относительно переменных , то есть обладающая свойством
.
Здесь – произвольная функция от переменных ; – постоянная.
Однородные дифференциальное уравнение первого порядка не меняют своего вида при замене
.

Для решения однородного уравнения, его нужно разрешить относительно производной. Тогда его можно записать в следующем виде:
(2)   ,
где и однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:
(3)   .

Уравнения, разрешенные относительно производной можно выразить через одну функцию, зависящую от одной переменной:
(4)   .
Действительно, разделив (2) на , при имеем.
.
Здесь мы воспользовались (3) и ввели функцию
.
Далее нужно рассмотреть случай
(5)   ,
который мы отбросили при делении. Возможно, среди корней уравнения (5) будет решение уравнения (2), которого нет в (4). В этом смысле уравнения (2) и (4) не эквивалентны.

Также из (4) можно получить (2), умножив его на . При этом мы получим уравнение, в котором, возможно, появится решение , которого не было в (4). Поэтому такой переход также может быть не эквивалентным.

Однородная функция
Функция называется однородной, если она обладает следующим свойством:
(6)   ,
где – функция от переменных ; – постоянная, которая называется показателем однородности.
Показатель однородности
– это показатель степени p в определении однородной функции (6).

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести множитель , и заменить x на tx и y на ty:   . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение.

Если уравнение записано в форме дифференциалов, то нужно сделать замену и под знаками дифференциалов, считая при этом, что – постоянная. Если мы снова вернемся к производной, то она при таком преобразовании не изменится.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным:
.

Решение

Делаем замену , где – постоянная. Считаем, что . Тогда


Делим на t 2.

.
Уравнение не содержит t. Следовательно, это однородное уравнение.

Методы решения однородного дифференциального уравнения

Уравнение, разрешенное относительно производной

Метод решения
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Запишем его в наиболее общей форме (2):
(М1.1)   , где
(М1.2)   .
С помощью подстановки

оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными и интегрируется в квадратурах. Здесь u – функция от x.
Покажем это

Делаем подстановку:
,
где u - функция от x. Дифференцируем по x:
.
Подставляем в исходное уравнение (М1.1).
.
Применим (М1.2).
.
Разделим на , и выполним преобразования.
;
.
Разделим на , и введем функцию . При имеем.
;
;
(М1.3)   .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные. Умножаем на и делим на .

При и получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл исходного уравнения в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C. Тогда ,
.
Снова заменим постоянную . Теперь она может принимать как положительные, так и отрицательные значения, отличные от нуля. Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (М1.3). Поскольку уравнение (М1.3) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (М1.1).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y), то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y)0. Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0.

Уравнение, не разрешенное относительно производной

Метод решения
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение первого порядка общего вида (1):
(М2.1)   ,
где
(М2.2)   .
С помощью подстановок

оно приводится к уравнению, не содержащему независимую переменную в явном виде:
(М2.3)   .
Покажем это

Делаем подстановку:
.
Дифференцируем по x:
.
Подставляем в (М2.1) и применяем (М2.2).
;
;
(М2.4)   .

Делаем подстановку:
.
;
;
.
Подставляем в (М2.4) и вводим функцию .
;
;
(М2.3)   .

Уравнение (М2.3) проще исходного уравнения (М2.1), поскольку не содержит независимую переменную в явном виде. Если из него можно выразить производную как функцию от , то получим уравнение с разделяющимися переменными. Если удастся выразить как функцию от , то решение сводится к квадратурам. В более общем случае, это уравнение можно попытаться решить параметрическим методом.
См. Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение
.

Решение

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty, x → tx, y′ → y′. Положим .
,
,
.
Сокращаем на t.

Множитель t сократился. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux, где u – функция от x.
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0,   |x| = x. При x ≤ 0,   |x| = – x. Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0, а нижний – к значениям x ≤ 0.
,
Умножаем на ± dx и делим на   .

При u2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2.
Положим a = u, .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C.

Умножаем на x и подставляем ux = y.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u2 – 1 = 0.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

,
,
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню