Определение
- Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- – это уравнение вида
, где f – функция.
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx: y → ty, x → tx. Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Решение
Делаем замену y → ty, x → tx.
Делим на t 2.
.
Уравнение не содержит t. Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux. Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux,
где u - функция от x. Дифференцируем по x:
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f(u) – u ).
При f(u) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C, тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C. Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f(u) – u = 0.
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y), то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0. Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0.
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение
.
Решение
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty, x → tx. При этом y′ → y′.
,
,
.
Сокращаем на t.
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux, где u – функция от x.
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0, |x| = x. При x ≤ 0, |x| = – x. Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0, а нижний – к значениям x ≤ 0.
,
Умножаем на ± dx и делим на .
При u2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные,
.
Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2.
Положим a = u, .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.
Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C.
Умножаем на x и подставляем ux = y.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.
Теперь рассмотрим случай, u2 – 1 = 0.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
,
,
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.