Методы решения физико-математических задач

Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши

Определения предела функции по Гейне и по Коши
Приводятся определения предела функции по Гейне (через последовательности) и по Коши (через эпсилон и дельта окрестности). Определения даются в универсальном виде, применимом как для двусторонних, так и односторонних пределов в конечных и бесконечно удаленных точках. Рассмотрено определение, что точка a не является пределом функции. Доказательство эквивалентности определений по Гейне и по Коши.

Первое определение предела функции (по Гейне)

Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0.
Число a называется пределом функции f(x) в точке x0:
,
если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {f(xn)} сходится к a:
.

Здесь x0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0.
Число a называется пределом функции f(x) в точке x0:
,
если для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δε > 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих проколотой δε - окрестности точки x0:
,
значения функции f(x) принадлежат ε - окрестности точки a:
.

Точки x0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей
Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0.
Число a называется пределом функции f(x) в точке x0:
,
если для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки x0:
,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a:
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Хотя формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, но первое определение, в математическом смысле, проще. Поэтому мы будем его использовать в дальнейшем.

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0. Точки a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x0: ,
если существует такая последовательность {xn}, сходящаяся к x0:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность {f(xn)} не сходится к a:
.
.

По Коши.
Число a не является пределом функции f(x) в точке x0:
,
если существует такое положительное число ε > 0, так что для любого положительного числа δ > 0, существует такое x, принадлежащее проколотой δ - окрестности точки x0:
,
что значение функции f(x) не принадлежит ε - окрестности точки a:
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a. Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Синус от 1 дробь x

Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0: . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0: . Но поскольку , то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a. Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , с которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей окрестности точки и имеющей предел
(1)   ,
предел последовательности равен a:
(2)   .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a. Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3)   для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

.     Опубликовано:   Изменено: