Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши
Первое определение предела функции (по Гейне)
- Предел функции по Гейне
- Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 :
a = limx → x0 f (x ) ,
если
1) существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функция определена;
2) для любой последовательности {xn} , сходящейся к x0 :
limn → ∞ xn = x0 , элементы которой принадлежат окрестности ○U(x0 ) : xn ∈ ○U(x0 ) ,
последовательность {f(xn)} сходится к a :
limn → ∞ f (xn ) = a .
Здесь x0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность ○U(x0 ) может быть как двусторонней, так и односторонней.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
a = limx → x0 f (x ) def⇐⇒ {∀xn ∈ ○U(x0 ), n = 1, 2, 3, ... , limn → ∞ xn = x0 ⇒ limn → ∞ f (xn ) = a } .
Второе определение предела функции (по Коши)
- Предел функции по Коши
- Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 :
a = limx → x0 f (x ) ,
если
1) существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δε - окрестности точки x0 :
x ∈ ○U(x0 , δε ) ,
значения функции f(x) принадлежат ε - окрестности точки a :
f (x ) ∈ U(a, ε ) .
Точки x0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность ○U(x0 ) также может быть как двусторонней, так и односторонней.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
a = limx → x0 f (x ) def⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δε > 0 ∀x ∈ ○U(x0 , δε ) : f (x ) ∈ U(a, ε ) .
В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.
Определение с использованием произвольных окрестностей
- Предел функции
- Число a называется пределом функции f(x) в точке x0 :
a = limx → x0 f (x ) ,
если
1) существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , на которой функция определена;
2) для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность ○U(x0 ) точки x0 , что для всех x , принадлежащих проколотой окрестности ○U(x0 ) точки x0 :
x ∈ ○U(x0 ) ,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a :
f (x ) ∈ U(a ) .
С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
limx → x0 f (x ) = a def⇐⇒ ∀ U(a ) ∃ ○U(x0 ) ∀x ∈ ○U(x0 ) : f (x ) ∈ U(a ) .
На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.
Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».
Односторонние и двусторонние пределы
Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве ○U(x0 ) мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела limx → x0 – 0 f (x ) . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.
Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к x0 , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки x0 .
Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения x ∈ ○U(x0 , δε ) и f (x ) ∈ U(a, ε ) в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».
Определение, что точка a не является пределом функции
Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при x → x0 . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности ○U(x0 ) точки x0 . Точки a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.
если существует такая последовательность {xn} , сходящаяся к x0 :
limn → ∞ xn = x0 ,
элементы которой принадлежат окрестности ○U(x0 ) : xn ∈ ○U(x0 ) ,
что последовательность {f(xn)} не сходится к a :
limn → ∞ f (xn ) ≠ a .
limx → x0 f (x ) ≠ a ⇐⇒ {∃xn ∈ ○U(x0 ), n = 1, 2, 3, ... , limn → ∞ xn = x0 ⇒ limn → ∞ f (xn ) ≠ a } .
limx → x0 f (x ) ≠ a ,
если существует такое положительное число ε > 0 ,
так что для любого положительного числа δ > 0 ,
существует такое x , принадлежащее проколотой δ - окрестности точки x0 :
x ∈ ○U(x0 , δε ) ,
что значение функции f(x) не принадлежит ε - окрестности точки a :
f (x ) ∈ U(a, ε ) .
limx → x0 f (x ) ≠ a ⇐⇒ ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ ○U(x0 , δ ) : f (x ) ∈ U(a, ε ) .
Разумеется, если точка a не является пределом функции f (x ) при x → x0 , то это не означает, что у функции не может быть предела. Возможно, существует предел limx → x0 f (x ) , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки x0 , но не имеет предела при x → x0 .
Например, функция f (x ) = sin 1x определена при x ≠ 0 , но предела limx → x0 f (x ) не существует. Для доказательства возьмем последовательность xn = 1πn . Она сходится к точке 0 : limn → ∞ xn = 0 . Поскольку f (xn ) = sin 1xn = sin πn = 0 , то limn → ∞ f (xn ) = 0 .
Возьмем последовательность yn = 2π(1 + 4n ) . Она также сходится к точке 0 : limn → ∞ yn = 0 . Но поскольку f (yn ) = sin 1yn = sin π(1 + 4n )2 = sin ( π2 + 2πn ) = 1 , то
limn → ∞ f (yn ) = 1 .
Тогда предел limx → 0 f (x ) не может равняться никакому числу a . Действительно, при a ≠ 0 , существует последовательность xn → 0 , с которой f (xn ) → 0 . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но a = 0 также не является пределом, поскольку существует последовательность yn → 0 , для которой f (yn ) → 1 .
Теорема. Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши
Определение предела функции по Гейнеэквивалентно определению предела функции по Коши.
При доказательстве мы предполагаем, что функция f (x ) определена в некоторой проколотой окрестности ○U(x0 ) точки x0 (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.
Доказательство Гейне ⇒ Коши
Пусть функция f (x ) имеет в точке x0 предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности {xn } , принадлежащей проколотой окрестности ○U(x0 ) точки x0 и имеющей предел
(1) limn → ∞ xn = x0 ,
предел последовательности { f (xn )} равен a :
(2) limn → ∞ f (xn ) = a .
Покажем, что функция f (x ) имеет предел в точке x0 по Коши. То есть для любого ε > 0 существует δε > 0 , что f (x ) ∈ U(a, ε ) для всех x ∈ ○U(x0 , δε ) .
Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое ε > 0 , что для любого δ > 0 существует x ∈ ○U(x0 , δ ) , так что
f (x ) ∈ U(a, ε ) .
Возьмем δ = 1n , где n – натуральное число. Тогда существует xn ∈ ○U( x0 , 1n ) , причем
f (xn ) ∈ U(a, ε ) .
Таким образом мы построили последовательность {xn } , сходящуюся к x0 , но предел последовательности { f (xn )} не равен a . Это противоречит условиям (1) – (2).
Первая часть доказана.
Доказательство Коши ⇒ Гейне
Пусть функция f (x ) имеет в точке x0 предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого ε > 0 существует δε > 0 , что
(3) f (x ) ∈ U(a, ε ) для всех x ∈ ○U(x0 , δε ) .
Покажем, что функция f (x ) имеет предел a в точке x0 по Гейне.
Возьмем произвольное число ε > 0 . Согласно определению Коши, существует число δε > 0 , так что выполняется (3).
Возьмем произвольную последовательность {xn } , принадлежащую проколотой окрестности ○U(x0 ) и сходящуюся к x0 . По определению сходящейся последовательности, для любого δε > 0 существует Nδε , что
xn ∈ ○U(x0 , δε ) при n > Nδε .
Тогда из (3) следует, что
f (xn ) ∈ U(a, ε ) при n > Nδε .
Поскольку это выполняется для любого ε > 0 , то
limn → ∞ f (xn ) = a .
Теорема доказана.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: