Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функции в точке – свойства и теоремы

Свойства непрерывных в точке функций
Приводятся доказательства основных свойств и теорем непрерывной в точке функции: арифметические свойства, теорема об ограниченности, теорема о сохранении знака, свойство односторонней непрерывности.

Формулировки свойств и теорем

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.
Доказательство ⇓

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x0) > 0     ( f(x0) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x0) точки x0, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x U(x0).
Доказательство ⇓

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x0.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x0.
Если  g(x0) ≠ 0, то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x0.
Доказательство ⇓

Свойство непрерывности слева и справа
Функция  f  непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в x0 слева и справа.
Доказательство ⇓

Доказательства свойств и теорем

Доказательство теоремы об ограниченности непрерывной функции

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
.
Раскроем знак модуля и преобразуем неравенства.
;
.
Пусть M есть наибольшее из чисел: . Тогда
, или
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена числом :
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о сохранении знака непрерывной функции

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция , что для любого ,
  при  .

Положим . Тогда при имеем:
(1)   .

Пусть . Раскроем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
.

Итак, мы нашли окрестность , на которой функция ограничена снизу положительным числом:
.
Поэтому на этой окрестности функция имеет положительное значение:
.
Для случая теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай . Также раскрываем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
;
;
;
.

Тем самым мы нашли окрестность , на которой функция ограничена сверху отрицательным числом:
.
Поэтому на этой окрестности .

Теорема доказана.

Доказательство арифметических свойств непрерывных функций

Формулировка ⇑

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, Функция называется непрерывной в точке , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при стремящемся к существует и равен значению функции в :
.

Поскольку функции и непрерывны в точке , то они определены на некоторых окрестностях и , соответственно, этой точки. Пусть окрестность является пересечением окрестностей и . Тогда обе функции и определены на окрестности .

Поскольку функции и определены на окрестности , то они определены и на проколотой окрестности точки , которая получается из исключением точки .

Итак, функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной точки , и существуют пределы:
  и  .
Тогда, согласно арифметическим свойствам пределов функции, существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
;
;
.
Если , то существует предел частного:
.

Свойства доказаны.

Доказательство свойства непрерывности слева и справа

Формулировка ⇑

1)   Пусть функция непрерывна в точке . Докажем, что она непрерывна в справа и слева.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению, имеется такая функция , так что для любого ,
(2)     при  .

Поскольку неравенство выполняется для любых значений , принадлежащих окрестности , то наложим дополнительное ограничение: . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в справа.

Теперь, в (2), наложим ограничение . Тогда
для любого , имеется , так что
  при  .
Это означает, что . То есть функция непрерывна в слева.

Первая часть свойства доказана.

2)   Теперь пусть функция непрерывна в точке x0 слева и справа.

Поскольку функция непрерывна слева, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Поскольку функция непрерывна в точке справа, то имеется такая функция , так что для любого ,
  при  .

Пусть . Тогда . Если принадлежит окрестности , то также принадлежит окрестности . Поэтому
  при  .
Аналогично, если , то . Поэтому
  при  .

Итак, мы нашли такую функцию , при которой для любого ,
  при  .
Это означает, что . То есть функция является непрерывной в точке .

Свойство доказано.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано: