Свойства непрерывных в точке функций

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.
Доказательство

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0     ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x₀).
Доказательство

Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x₀.
Если  g(x₀) ≠ 0,
то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x₀.
Доказательство

Функция  f  непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда,
когда она непрерывна в x₀ слева и справа.
Доказательство

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Все свойства Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция δ = δ(ε), что для любого ε > 0,
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ(ε).

Положим ε = 1. Тогда при  | x – x₀ |  < δ(1) имеем:
 |  f (x) –  f (x₀) |  < 1.
Раскроем знак модуля и преобразуем неравенства.
–1 <  f (x) –  f (x₀) < 1;
–1 +  f (x₀) <  f (x) < 1 +  f (x₀).
Пусть M есть наибольшее из чисел: M = max(1 –  f (x₀), 1 +  f (x₀)). Тогда
–M <  f (x) < M, или
 |  f (x) |  < M.

Итак, мы нашли окрестность  | x – x₀ |  < δ(1), на которой функция ограничена числом M = max(1 –  f (x₀), 1 +  f (x₀)):
 |  f (x) |  ≤ M.

Теорема доказана.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции

Все свойства Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0     ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0     ( f(x) < 0 )  при  x ∈ U(x₀).

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению имеется такая функция δ = δ(ε), что для любого ε > 0,
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ(ε).

Положим ε =  |  f (x₀) |  / 2. Тогда при  | x – x₀ |  < δ( |  f (x₀) |  / 2) имеем:
(1)    |  f (x) –  f (x₀) |  <  |  f (x₀) |  / 2.

Пусть  f (x₀) > 0. Раскроем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
– f (x₀) / 2 <  f (x) –  f (x₀) <  f (x₀) / 2;
 f (x₀) –  f (x₀) / 2 <  f (x) <  f (x₀) +  f (x₀) / 2;
 f (x₀) / 2 <  f (x) < 3 f (x₀) / 2.

Итак, мы нашли окрестность  | x – x₀ |  < δ( f (x₀) / 2), на которой функция ограничена снизу положительным числом:
 f (x) >  f (x₀) / 2 > 0.
Поэтому на этой окрестности функция имеет положительное значение:
 f (x) > 0.
Для случая  f (x₀) > 0 теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай  f (x₀) < 0. Также раскрываем в (1) знак модуля и преобразуем неравенства:
 –  |  f (x₀) |  / 2 <  f (x) –  f (x₀) <  |  f (x₀) |  / 2;
 –  |  f (x₀) |  / 2 <  f (x) +  |  f (x₀) |  <  |  f (x₀) |  / 2;
 –  |  f (x₀) |  / 2 –  |  f (x₀) |  <  f (x) <  |  f (x₀) |  / 2 –  |  f (x₀) | ;
–3 |  f (x₀) |  / 2 <  f (x)<– |  f (x₀) |  / 2.

Тем самым мы нашли окрестность  | x – x₀ |  < δ(– f (x₀) / 2), на которой функция ограничена сверху отрицательным числом:
 f (x)<– |  f (x₀) |  / 2 < 0.
Поэтому на этой окрестности  f (x) < 0.

Теорема доказана.

Арифметические свойства непрерывных функций

Все свойства Пусть функции f(x)  и  g(x) непрерывны в точке x₀.
Тогда сумма  f(x) + g(x), разность  f(x) – g(x)  и произведение  f(x) · g(x)  функций непрерывны в точке x₀.
Если  g(x₀) ≠ 0,
то и частное функций f(x) / g(x) непрерывно в точке x₀.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, Функция  f (x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена на некоторой окрестности U(x₀) этой точки, и если предел при x стремящемся к x₀ существует и равен значению функции в x₀:
lim_x → x0  f (x) =  f (x₀).

Поскольку функции  f (x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то они определены на некоторых окрестностях U_f (x₀) и U_g (x₀), соответственно, этой точки. Пусть окрестность U(x₀) является пересечением окрестностей U_f (x₀) и U_g (x₀). Тогда обе функции  f (x) и g(x) определены на окрестности U(x₀).

Поскольку функции  f (x) и g(x) определены на окрестности U(x₀), то они определены и на проколотой окрестности ^○U(x₀) точки x₀, которая получается из U(x₀) исключением точки x₀.

Итак, функции  f (x) и g(x) определены на некоторой проколотой окрестности ^○U(x₀) конечной точки x₀, и существуют их пределы:
lim_x → x0  f (x) =  f (x₀)  и  lim_x → x0 g(x) = g(x₀).
Тогда, согласно арифметическим свойствам пределов функции, существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
lim_x → x0( f (x) + g(x)) = lim_x → x0  f (x) + lim_x → x0 g(x) =  f (x₀) + g(x₀);
lim_x → x0( f (x) – g(x)) = lim_x → x0  f (x) – lim_x → x0 g(x) =  f (x₀) – g(x₀);
lim_x → x0( f (x) ⋅ g(x)) = lim_x → x0  f (x) ⋅ lim_x → x0 g(x) =  f (x₀) ⋅ g(x₀).
Если g(x₀) ≠ 0, то существует предел частного:
lim_x → x0  f (x)g(x) = lim_x → x0  f (x)lim_x → x0 g(x) =  f (x₀)g(x₀).

Свойства доказаны.

Свойство непрерывности слева и справа

Все свойства Функция  f  непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда,
когда она непрерывна в x₀ слева и справа.

1)   Пусть функция  f  непрерывна в точке x₀. Докажем, что она непрерывна в x₀ справа и слева.

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке по Коши. Согласно этому определению, имеется такая функция δ = δ(ε), так что для любого ε > 0,
(2)    |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ(ε).

Поскольку неравенство  |  f (x) –  f (x₀) |  < ε выполняется для любых значений x, принадлежащих окрестности  | x – x₀ |  < δ(ε), то наложим дополнительное ограничение: x – x₀ ≥ 0. Тогда
для любого ε > 0, имеется δ = δ(ε), так что
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x – x₀ < δ(ε).
Это означает, что lim_{x → x0 + 0}  f (x) =  f (x₀). То есть функция непрерывна в x₀ справа.

Теперь, в (2), наложим ограничение x – x₀ ≤ 0. Тогда
для любого ε > 0, имеется δ = δ(ε), так что
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x₀ – x < δ(ε).
Это означает, что lim_{x → x0 – 0}  f (x) =  f (x₀). То есть функция непрерывна в x₀ слева.

Первая часть свойства доказана.

2)   Теперь пусть функция  f  непрерывна в точке x₀ слева и справа.

Поскольку функция непрерывна слева, то имеется такая функция δ₁ (ε) > 0, так что для любого ε > 0,
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x₀ – x < δ₁ (ε).

Поскольку функция непрерывна в точке x₀ справа, то имеется такая функция δ₂ (ε) > 0, так что для любого ε > 0,
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x – x₀ < δ₂ (ε).

Пусть δ(ε) = min(δ₁ (ε), δ₂ (ε)). Тогда δ(ε) ≤ δ₁ (ε),  δ(ε) ≤ δ₂ (ε). Если x принадлежит окрестности 0 ≤ x₀ – x < δ(ε), то x также принадлежит окрестности 0 ≤ x₀ – x < δ₁ (ε). Поэтому
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x₀ – x < δ(ε).
Аналогично, если 0 ≤ x – x₀ < δ(ε), то 0 ≤ x – x₀ < δ₂ (ε). Поэтому
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при  0 ≤ x – x₀ < δ(ε).

Итак, мы нашли такую функцию δ(ε) = min(δ₁ (ε), δ₂ (ε)), при которой для любого ε > 0,
 |  f (x) –  f (x₀) |  < ε  при   | x – x₀ |  < δ(ε).
Это означает, что lim_x → x0  f (x) =  f (x₀). То есть функция является непрерывной в точке x₀.

Свойство доказано.